Để `( n + 3 )/( 2n - 2 )` nguyên 

`<=> n + 3 \vdots 2n - 2  `

`<=> 2( n + 3 ) \vdots 2n - 2  `

`<=> 2n + 6  \vdots 2n - 2  `

`<=> 2n - 2 + 8  \vdots 2n - 2  `

`<=> 8  \vdots 2n - 2  `

`<=> 2n - 2 in Ư(8) = { ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 }`

Do `2n - 2` chẵn `<=>` `2n - 2 in { ±2 ; ±4 ; ±8 }` 

`=> 2n in { 0 ; 4 ; 6 ; -2 ; 10 ; -6 }`

`=> n in { 0 ; 2 ; 3 ; -1 ; 5 ; -3 }`

Do `n in N` `=> n in { 0 ; 2 ; 3 ; 5 }` 

Vậy `n in { 0 ; 2 ; 3 ; 5 }`  thì `( n + 3 )/( 2n - 2 )` nguyên 

Để `A` có giá trị nguyên thì :

`{(n+3 \vdots 2n-2 ),(2n-2 \vdots 2n-2):}`

`⇔ {(2.(n+3) \vdots 2n-2 ),(2n-2 \vdots 2n-2):}`

`⇔ {(2n+6 \vdots 2n-2 ),(2n-2 \vdots 2n-2):}`

`⇒ (2n+6)-(2n-2) \vdots 2n-2`

`⇔ 8 \vdots 2n-2`

`⇒ 2n-2∈Ư(8)={1;4;2;-1;-4;-2;8;-8}`

`⇔ 2n∈{3;6;4;1-2;0;10;-6}`

`⇔ n∈{3/2;3;2;1/2;-1;0;5;-3}`

mà `n∈N ⇒ n∈{3;2;0;5}`

Thử lại ta thấy `n=5` thỏa mãn yêu cầu để bài