Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)`

Xét tứ giác `AMHN` có:

`\hat{MAN} = 90^0` `(\triangleABC` vuông tại `A)`

`\hat{HMA} = 90^0` `(M` là hình chiếu của `H` trên `AB)`

`\hat{HNA} = 90^0` `(N` là hình chiếu của `H` trên `AC)`

`-> AMHN` là hình chữ nhật.

`b)`

Gọi giao điểm của `AH` và `MN` là `D`

Ta có: `AMHN` là hình chữ nhật (cmt)

`-> AH = MN; D` là trung điểm của `AH, MN`

`-> MD = DN = AD = DH`

`-> \triangleMDA` cân tại `D`

`-> \hat{DMA} = \hat{DAM}` `(2` góc đáy `)`

hay: `\hat{AMN} = \hat{BAH}`

mà: `\hat{BAH} = \hat{BCA}` `(` cùng phụ với `\hat{HAC})`

`-> \hat{AMN} = \hat{BCA}` 

Xét `\triangleAMN` và `\triangleACB` có:

`\hat{BAC}` chung; `\hat{AMN} = \hat{BCA}` (cmt)

`-> \triangleAMN` $\backsim$ `\triangleACB` `(g. g)`

`-> (AM)/(AN) = (AC)/(AB)` 

`-> AM. AB = AN. AC`

`c)` 

Ta có: `AH = MN` (cmt); `AH = 4cm` $(gt)$ `-> MN = 4cm`

Vì `\triangleAMN` $\backsim$ `\triangleACB` (cmt)

`-> (S_{AMN})/(S_{ACB}) = ((MN)/(BC))^2 = (4/10)^2 = 4/25`

`-> S_{AMN} = 4/25. S_{ABC}`

(Đề thiếu độ dài của `AB, AC` nên không tính tiếp được).