Đáp án:

a) Xét ΔHBA và ΔHCB có:

+ góc BHA = góc CHB = 90 độ

+ góc HBA = góc HCB (cùng phụ với góc A)

=> ΔHBA ~ ΔHCB (g-g)

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{{HB}}{{HC}} = \dfrac{{HA}}{{HB}}\\
 \Rightarrow H{B^2} = HA.HC
\end{array}$

b)

Xét tứ giác BMHN có 3 góc vuông tại B,M,N

=> BMHN là hình chữ nhật

=> BH = MN

c)

Xét ΔMAH vuông tại M có I là trung điểm của AH

=> MI = IA = IH (t/c)

=> ΔIAM và ΔIMH cân tại I

=> góc A = góc IMA và góc IMH = góc IHM

Tương tự ΔNHC vuông tại N

=> KH = KC = KN

=> góc KHN = góc KNH và góc KCN = góc KNC

=> góc MIA = góc NKH

=> IM // KN

và góc IMH + góc HMN = góc IHM + góc HMN

=> góc IMN = 90 độ

=> KMNI là hình thang vuông tại M và N

d)

$\begin{array}{l}
{S_{KMNI}} = \dfrac{1}{2}.MN.\left( {MI + NK} \right)\\
 = \dfrac{1}{2}.BH.\left( {\dfrac{{AH}}{2} + \dfrac{{HC}}{2}} \right)\\
 = \dfrac{1}{2}.BH.\dfrac{{AH + HC}}{2}\\
 = \dfrac{1}{2}.BH.\dfrac{{AC}}{2}\\
 = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.BH.AC\\
 = \dfrac{1}{2}.{S_{ABC}}
\end{array}$

a, Xét ΔAHB và ΔABC có:

góc BAC là góc chung

góc AHB = góc ABC = 90 độ (gt)

⇒ ΔAHB đồng dạng với ΔABC (g.g)     (1)          

Xét ΔBHC và ΔABC có:

góc ACB là góc chung 

góc BHC = góc ABC = 90 độ (gt)

⇒ ΔBHC = ΔABC (g.g)        (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ΔHBA đồng dạng với ΔHCB           (đpcm)

⇒ $\frac{AH}{HB}$ = $\frac{BH}{HC}$ ⇒ BH² = AH.HC (đpcm)

*phần a trước nè*