a)

Ta có:

+  $D{{A}^{2}}=D{{B}^{2}}=DE.DC$

+  $D{{A}^{2}}=D{{B}^{2}}=DM.DO$

$\Rightarrow DE.DC=DM.DO$

$\Rightarrow \Delta DEM\backsim\Delta DOC\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{DME}=\widehat{DCO}$

$\Rightarrow EMOC$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{DCO}=\widehat{OCE}=\widehat{OEC}=\widehat{OMC}$

Vậy $\widehat{DME}=\widehat{OME}$

Mà $\begin{cases}\widehat{DME}+\widehat{EMA}=90{}^\circ\\\widehat{OME}+\widehat{CMA}=90{}^\circ\end{cases}$

Nên $\widehat{EMA}=\widehat{CMA}$

Vậy$MA$ là phân giác $\widehat{EMC}$

 

b)

Ta có: $\Delta MDB\backsim\Delta MBO$

$\Rightarrow DM.OB=MB.DB\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

 

Từ $DE.DC=DM.DO$

$\Rightarrow \Delta DEO\backsim\Delta DMC\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow DE.MC=DM.EO$

$\Rightarrow DE.MC=DM.R$

$\Rightarrow DE.MC=DM.OB\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

 

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$

$\Rightarrow MB.DB=DE.MC$

$\Rightarrow \dfrac{DB}{DE}=\dfrac{MC}{MB}$

$\Rightarrow \dfrac{D{{B}^{2}}}{D{{C}^{2}}}=\dfrac{M{{C}^{2}}}{M{{B}^{2}}}$

 

Từ $D{{B}^{2}}=DE.DC$

$\Rightarrow \dfrac{D{{B}^{2}}}{D{{E}^{2}}}=\dfrac{DC}{DE}$

 

Vậy $\dfrac{M{{C}^{2}}}{M{{B}^{2}}}=\dfrac{DC}{DE}\Rightarrow M{{B}^{2}}.DC=M{{C}^{2}}.DE$

 

c)

Từ câu a)

Có $MN$ là phân giác $\widehat{EMC}$

Mà $MN\bot MD$

Nên $MD$ là phân giác ngoài $\widehat{EMC}$

Theo tính chất phân giác trong, phân giác ngoài của $\Delta MEC$

Ta có: $\dfrac{NE}{NC}=\dfrac{DE}{DC}$

$\Rightarrow \dfrac{EC-NC}{NC}=\dfrac{DC-EC}{DC}$

$\Rightarrow \dfrac{EC}{NC}-1=1-\dfrac{EC}{DC}$

$\Rightarrow 2=\dfrac{EC}{DC}+\dfrac{EC}{NC}$

$\Rightarrow \dfrac{2}{EC}=\dfrac{1}{DC}+\dfrac{1}{NC}$

 

d)

5 điểm $D,A,H,O,B$ cùng thuộc một đường tròn

Nên $DAHB$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{DBA}=\widehat{DHA}$

$\Rightarrow \widehat{DAN}=\widehat{DHA}$

$\Rightarrow \Delta DAN\backsim\Delta DHA\left( g.g \right)$

$\Rightarrow D{{A}^{2}}=DN.DH$

Mà $D{{A}^{2}}=DE.DC$

Vậy $DE.DC=DN.DH$

 

e)

Tứ giác $DAHB$ nội tiếp có $AB$ giao $DH$ tại $N$

Nên $NA.NB=NH.ND$

Tứ giác $AEBC$ nội tiếp với $AB$ giao $EC$ tại $N$

Nên $NA.NB=NE.NC$

Vậy $NE.NC=NH.ND$