a)

$MAOB$ nội tiếp $\Rightarrow M,A,O,B$ cùng thuộc một đường tròn

$MAIO$ nội tiếp $\Rightarrow M,A,I,O$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow $5 điểm $M,A,I,O,B$ cùng thuộc một đường tròn

 

b)

$M{{A}^{2}}=MC.MD$

$M{{A}^{2}}=MH.MO$

$\Rightarrow MC.MD=MH.MO$

$\Rightarrow CHOD$ nội tiếp

 

c)

Kéo dài $MP$ cắt $\left( O \right)$ tại $Q$ như hình

$\Rightarrow \widehat{MCP}=\widehat{MQD}$ (góc ngoài bằng góc đối trong)

Từ $CHOD$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MCH}=\widehat{MOD}$

Ta có $\widehat{MOD}$ là góc ngoài của $\Delta OQD$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{MOD}=2\widehat{MQD}$

$\Rightarrow \widehat{MCH}=2\widehat{MCP}$

$\Rightarrow CP$ là phân giác $\widehat{MCH}$

 

d)

Từ $CHOD$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MHC}=\widehat{MDO}=\widehat{ODC}=\widehat{OCD}=\widehat{OHD}$

Mà: $\begin{cases}\widehat{MHC}+\widehat{CHA}=90{}^\circ\\\widehat{OHD}+\widehat{DHA}=90{}^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{CHA}=\widehat{DHA}$

$\Rightarrow AB$ là đường phân giác $\widehat{CHD}$

 

e)

$AEBF$ nội tiếp với $AB$ giao $EF$ tại $H$

$\Rightarrow HA.HB=HE.HF$

$MAOB$ nội tiếp với $AB$ giao $OM$ tại $H$

$\Rightarrow HA.HB=HO.HM$

$\Rightarrow HE.HF=HO.HM$

$\Rightarrow MEOF$ nội tiếp

 

f)

5 điểm $M,A,I,O,B$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow MAIB$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{MIB}=\widehat{MAB}$

Mà $\widehat{MAB}=\dfrac{1}{2}\text{sđ}\overset\frown{AB}=\widehat{ANB}$

$\Rightarrow \widehat{MIB}=\widehat{ANB}$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Vậy $AN//CD$

 

g)

$KCOD$ nội tiếp $\Rightarrow K,C,O,D$ cùng thuộc một đường tròn

$CHOD$ nội tiếp $\Rightarrow C,H,O,D$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow $5 điểm $K,C,H,O,D$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow KCHO$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{KHO}=\widehat{KCO}=90{}^\circ $

$\Rightarrow KH\bot OM$

Mà $AB\bot OM$

Nên $KH$ trùng với $AB$

Do đó 4 điểm $K,A,H,B$ thẳng hàng

Tức là 3 điểm $A,B,K$ thẳng hàng