Tập $A$ gồm 31 phần tử.

Tập con của A có thể là:

$\begin{cases}\text{Tập gồm 0 phần tử}\\\text{Tập gồm 1 phần tử}\\\text{Tập gồm 2 phần tử}\\\text{Tập gồm 3 phần tử}\\.....\\\text{Tập gồm 31 phần tử}\end{cases}$

Tính số tập con có đúng 2 phần tử của $A$:

Đánh số thứ tự các phần tử của tập A, ta thấy:

- Phần tử thứ nhất có thể ghép với 30 phần tử còn lại để tạo thành 1 tập con gồm 2 phần tử.

- Phần tử thứ hai có thể ghép với 29 phần tử còn lại (trừ phần từ thứ nhất vì tập tạo được sẽ bị trùng) để tạo thành 1 tập con gồm 2 phần tử.

....

- Phần tử thứ 30 có thể ghép với 1 phần tử thứ 31 để tạo thành tập con gồm 2 phần tử.

Vậy số tập con của $A$ gồm đúng hai phần tử là:

$1+2+...+30=\dfrac{30(30+1)}2=\dfrac{30.31}2$

Dãy gồm $m$ tập con của $A$ thỏa mãn điều kiện "Một tập hợp của dãy có ít nhất 2 phần tử"

Gọi $a_k$ là số các tập có $k$ phần tử lấy từ 31 phần tử của $A$.

$\Rightarrow m=a_2+a_3+...a_{31}$

Mỗi tập "k" tạo thành các tập con, số tập con có đúng 2 phần tử lập từ tập $k$ phần tử đó là:

$=1+2+...+(k-1)=\dfrac{k(k-1)}2$

Mà theo giải thiết hai tập hợp của dãy có cùng nhau ít nhất hai phần tử thì số phần tử của hai tập hợp khác nhau, nghĩa là hai phần tử của $A$ không thể đồng thời thuộc hai tập hợp có cùng $k$ phần tử.

Vậy số tập có đúng hai phần tử của dãy là $\dfrac{k(k-1)}2.a_k$,

Số tập con trong dãy gồm $m$ tập con thỏa mãn hai điều kiện phải nhỏ hơn hoặc bằng số tập con có hai phần tử của $A$ nên ta có:

$\dfrac{a(k-1)}2.a_k\le\dfrac{30.31}2$

$\Rightarrow a_k\le\dfrac{30.31}{k(k-1)}$

Với $k=2\Rightarrow a_2\le\dfrac{30.31}{2(2-1)}$

$k=3\Rightarrow a_3\le\dfrac{30.31}{3(3-1)}$

....

$k=31\Rightarrow a_{31}\le\dfrac{30.31}{31(31-1)}$

Cộng vế với vế ta có:

$m=a_2+a_3+...+a_{31}\le30.31.\left({\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{30.31}}\right)=30.31.\left({1-\dfrac1{31}}\right)=900$ (đpcm).