cho đa thức f(x)=$a_{n}$ .$x^{n}$+$x_{n-1}$. $x^{n-1}$+...+ $a_{2}$. $x^{2}$+ $a_{1}$. $x^{}$ +$a_{0}$ 

($a_{i}$ ∈Z, $a_{n}$ $\neq$ 0)

Nếu `x=p/q` là ngiệm hữu tỉ của đa thức f(x) thì p là ước của $a_{0}$ và q là ước của $a_{n}$    

(p,q∈Z, `(p,q)=1`)

Chứng minh

 Nếu `x=p/q` là ngiệm của f(x) thì f(x) có 1 nhân tử là `(qx-p)`

Hay `f(x)=(qx-p).g(x)`

Ta có f(x) có bậc n: (qx-p) có bậc 1

⇒g(x) là đa thức bậc n-1

Do đó đặt g(x)=$b_{n-1}$. $x^{n-1}$ +$b_{n-2}$ .$x^{n-2}$ +...+$b_{1}$. $x^{}$+ $b_{0}$ ($b_{k}$ ∈Z)

Khi đó $a_{n}$. $x^{n}$+$x_{n-1}$. $x^{n-1}$+...+ $a_{2}$ .$x^{2}$+ $a_{1}$ .$x^{}$ +$a_{0}$ `=(qx-p).` $b_{n-1}$.$x^{n-1}$ +$b_{n-2}$. $x^{n-2}$ +...+$b_{1}$. $x^{}$+ $b_{0}$

⇒$\left \{ {{a_{n}=q.b_{n-1} } \atop { a_{0}=-p.b_{0} }} \right.$

⇒$a_{n}$ $\vdots$ q (vì $b_{n-1}$ ∈Z)

và $a_{0}$ $\vdots$ p (vì $b_{0}$ )

Vậy p là ước của $a_{0}$

       q là ước của $a_{n}$