Đáp án+Giải thích các bước giải:

$ Ta $ $ có $ : $ OA =\frac{1}{3} AC $

⇒$OA=\frac{1}{2} OC $

⇒$\frac{OA}{OC} = \frac{AB}{CD}$ = $\frac{1}{2}$ 

⇔$\frac{OA^2}{OC^2} = \frac{AB^2}{CD^2}$ = $\frac{AB^2-OA^2}{CD^2-OC^2}$

Xét ΔABO vuông tại O và ΔCDO vuông tại O :

→ $OB^{2}$ = $AB^{2}$ - $OA^{2}$ và $DO^{2}$ = $DC^{2}$ -$OC^{2}$

Do đó : $\frac{OA^2}{OC^2} = \frac{AB^2}{CD^2}$ = $\frac{OB^2}{DO^2}$

↔  $\frac{OA}{OC}$ =$ \frac{AB}{CD}$ = $\frac{OB}{DO}$=$\frac{1}{2}$

→ $ AB//CD$ ( ĐL Ta Lét đảo )

Lại có : $\frac{S_{OAB}}{S_{ODC}}$ =$\frac{OA.OB}{OC.OD}$ = $\frac{1}{2}$.$\frac{1}{2}$ =$\frac{1}{4}$

⇒ $S_{ODC}$ = 4 $S_{OAB}$ = 17.2$cm^{2}$

Lại có : OA = $\frac{1}{2}$ OC

→$S_{OBA}$=$\frac{1}{2}$ $S_{OBC}$→$S_{COB}$ = 8,6$cm^{2}$

Lại có : AB// CD

⇒ $S_{COB}$  = $S_{AOD}$ ( Hai tam giác chung đường cao và đáy )

Vậy $S_{ABCD}$ = $S_{ABO}$ + 2$S_{BOC}$ + $S_{DOC}$ = 4,3 + 2.8,6 + 17,2 = 38,7$cm^{2}$