Đáp án:

\(\begin{array}{l}
a.{R_2} = 12\Omega \\
b.\\
{R_2} = 3\Omega \\
{P_{2\max }} = 4,6875W\\
c.\\
{R_2} = 6\Omega \\
{P_{CN\max }} = 6,25W
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
a.\\
{I_1} = {I_{dm}} = \dfrac{{{P_{dm}}}}{{{U_{dm}}}} = \dfrac{3}{6} = 0,5A\\
{R_d} = \dfrac{{U_{dm}^2}}{{{P_{dm}}}} = \dfrac{{{6^2}}}{3} = 12\Omega \\
{U_1} = {U_2} = {U_{dm}} = 6V\\
U = {U_{12}} + {U_R} \Rightarrow {U_R} = U - {U_{12}} = 10 - 6 = 4V\\
I = \dfrac{U}{R} = \dfrac{4}{4} = 1A\\
I = {I_1} + {I_2} \Rightarrow {I_2} = I - {I_1} = 1 - 0,5 = 0,5A\\
{R_2} = \dfrac{{{U_2}}}{{{I_2}}} = \dfrac{6}{{0,5}} = 12\Omega \\
b.\\
{R_{2d}} = \dfrac{{{R_2}{R_d}}}{{{R_2} + {R_d}}} = \dfrac{{12{R_2}}}{{{R_2} + 12}}\\
I = \dfrac{U}{{{R_{td}}}} = \dfrac{U}{{R + {R_{2d}}}} = \dfrac{{10}}{{4 + \dfrac{{12{R_2}}}{{{R_2} + 12}}}} = \dfrac{{10({R_2} + 12)}}{{16{R_2} + 48}}\\
{U_2} = {U_{2d}} = I{R_{2d}} = \dfrac{{10({R_2} + 12)}}{{16{R_2} + 48}}.\dfrac{{12{R_2}}}{{{R_2} + 12}} = \dfrac{{120{R_2}}}{{16{R_2} + 48}}\\
{P_2} = \dfrac{{U_2^2}}{{{R_2}}} = \dfrac{{{{(\dfrac{{120{R_2}}}{{16{R_2} + 48}})}^2}}}{{{R_2}}} = \dfrac{{14400{R_2}}}{{{{(16{R_2} + 48)}^2}}} = \dfrac{{14400}}{{{{(16\sqrt {{R_2}}  + \dfrac{{48}}{{\sqrt {{R_2}} }})}^2}}}\\
{P_2}\max  \Rightarrow {(16\sqrt {{R_2}}  + \dfrac{{48}}{{\sqrt {{R_2}} }})^2}\min 
\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

\(16\sqrt {{R_2}}  + \dfrac{{48}}{{\sqrt {{R_2}} }} \ge 2.\sqrt {16\sqrt {{R_2}} .\dfrac{{48}}{{\sqrt {{R_2}} }}}  = 32\sqrt 3 \)

Dấu ''='' xảy ra khi:

\(16\sqrt {{R_2}}  = \dfrac{{48}}{{\sqrt {{R_2}} }} \Rightarrow {R_2} = 3\Omega \)

Công suất cực đại trên điện trở R2 là:

\({P_{2\max }} = \dfrac{{14400{R_2}}}{{{{(16{R_2} + 48)}^2}}} = \dfrac{{14400.3}}{{{{(16.3 + 48)}^2}}} = 4,6875W\)

\(\begin{array}{l}
c.\\
{P_{CN}} = {I^2}{R_{2d}} = {(\dfrac{U}{{R + {R_{2d}}}})^2}.{R_{2d}} = \dfrac{{{U^2}}}{{{{(\sqrt {{R_{2d}}}  + \dfrac{R}{{\sqrt {{R_{2d}}} }})}^2}}}\\
{P_{CN}}\max  \Rightarrow {(\sqrt {{R_{2d}}}  + \dfrac{R}{{\sqrt {{R_{2d}}} }})^2}\min .
\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

\(\sqrt {{R_{2d}}}  + \dfrac{R}{{\sqrt {{R_{2d}}} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{R_{2d}}} .\dfrac{R}{{\sqrt {{R_{2d}}} }}}  = 2\sqrt R \)

Dấu "=" xảy ra khi:

\(\begin{array}{l}
\sqrt {{R_{2d}}}  = \dfrac{R}{{\sqrt {{R_{2d}}} }} \Rightarrow R = {R_{2d}}\\
 \Rightarrow 4 = \dfrac{{12{R_2}}}{{{R_2} + 12}} \Rightarrow {R_2} = 6\Omega 
\end{array}\)

Công suất cực đại trên đoạn mạch mắc song song là:

\({P_{CN\max }} = {(\dfrac{U}{{R + {R_{2d}}}})^2}.{R_{2d}} = {(\dfrac{{10}}{{4 + 4}})^2}.4 = 6,25W\)