1) Số học sinh khối 6 của một trường khi xếp thành 10 hàng, 12 hàng, 15 hàng đều dư 3 em. Hỏi số học sinh khối 6 của trường là bao nhiêu? Biết rằng số học sinh khối 6 của trường có nhiều hơn 200 và ít hơn 250 em, số học sinh trong các hàng bằng nhau.

Gọi số học sinh khối 6 là a.

a : 10; 12; 15 đều dư 3.

--> a - 3 chia hết cho 10; 12; 15.

10 = 2 . 5

12 = 2 . 2 . 3 = 2² . 3

15 = 3 . 5

--> BCNN(10; 12; 15) = 2² . 3 . 5 = 60.

--> a - 3 ∈ {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; ...}

--> a ∈ {3; 63; 123; 183; 243; 303; 363; ...}

Trong đó có số 243 thỏa mãn điều kiện lớn hơn 200 và nhỏ hơn 250.

--> a = 243.

--> Số học sinh khối 6 trường đó là 243 em.

2) Cho n là số tự nhiên. Chứng tỏ ƯCLN(3n + 2; 2n + 1) = 1

Gọi d là ƯCLN(3n + 2; 2n + 1).

--> 3n + 2 chia hết cho d, 2n + 1 chia hết cho d.

--> 2 . (3n + 2) chia hết cho d, 3 . (2n + 1) chia hết cho d.

Hay 6n + 4 chia hết cho d, 6n + 3 chia hết cho d.

Do 6n + 4 và 6n + 3 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên ƯCLN của chúng là 1.

--> 1 chia hết cho d.

--> d = 1.

--> ƯCLN(3n + 2; 2n + 1) = 1.

1): 10; 12; 15 đều dư 3.

 a - 3 chia hết cho 10; 12; 15.

10 = 2 . 5

12 = 2 . 2 . 3 = 2² . 3

15 = 3 . 5

 BCNN(10; 12; 15) = 2² . 3 . 5 = 60.

 a - 3 ∈ {0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; ...}

> a = 243.

  khối 6 trường đó là 243 em.

2) Cho n là số tự nhiên. Chứng tỏ ƯCLN(3n + 2; 2n + 1) = 1

Gọi d là ƯCLN(3n + 2; 2n + 1).

 3n + 2 chia hết cho d, 2n + 1 chia hết cho d.

 2 . (3n + 2) chia hết cho d, 3 . (2n + 1) chia hết cho d.

Hay 6n + 4 chia hết cho d, 6n + 3 chia hết cho d.

Do 6n + 4 và 6n + 3 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên ƯCLN của chúng là 1.

 d = 1.

 ƯCLN(3n + 2; 2n + 1) = 1.