Giải thích các bước giải:

Câu 1:

a.Ta có đồ thị hàm số $y=-x+1$ là đường thẳng $(d)$ đi qua $2$ điểm $(0,1), (1,0)$

b.Ta có $(d_1)//(d)\to a=-1\to (d_1): y=-x+b$

Lại có $A(1,3)\in (d_1)\to 3=-1+b\to b=4\to (d_1): y=-x+4$

c.Ta có: $(d)\cap (Oy)= (0,1)$

$\to$Để $(d_2): y=-2x+m$ cắt $(d)$ tại điểm trên trục tung

$\to  1=-2\cdot 0+m\to m=1$

Câu 2:

Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC\to AB^2=BH.BC\to BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{25}{3}$

$\to AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{(\dfrac{25}{3})^2- 5^2}=\dfrac{20}{3}$

Ta có:

$\sin\widehat{ABC}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45$

$\to \widehat{ABC}=\arcsin\dfrac45$

$\to \widehat{CAH}=90^o-\widehat{ACH}=90^o-\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=\arcsin\dfrac45$

Câu 3:

Ta có:

$\begin{cases}2x+3y=8\\ 3x-2y=-3\end{cases}$

$\to \begin{cases}3y=8-2x\\ 3x-2y=-3\end{cases}$

$\to \begin{cases}y=\dfrac{8-2x}{3}\\ 3x-2\cdot \dfrac{8-2x}{3}=-3\end{cases}$

$\to \begin{cases}y=\dfrac{30}{13}\\ x=\dfrac{7}{13}\end{cases}$

Câu 4:

a.Ta có đồ thị hàm số $y=x+1$ là đường thẳng đi qua $(0,1), (-1,0)$

b.Phương trình hoành độ giao điểm của $(d), (d')$ là:

$x+1=2x-1\to x=2$

$\to y=2+1=3\to (2,3)$ là giao điểm của $(d), (d')$

c.Ta có $(d_1)// (d)\to a=1\to y=x+b$

Mà $(d_1)\cap (Oy)$ tại điểm có tung độ bằng $-2\to (0,-2)\in (d_1)$

$\to -2=0+b\to b=-2\to (d_1): y=x-2$

Câu 5:

Ta có:

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o,\widehat{BAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}$

$\to \Delta AHB\sim\Delta CHA(g.g)$

$\to\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}$

$\to AH^2=HB.HC=23.04\to AH=4.8$

$\to AB=\sqrt{AH^2+HB^2}=6$

$\to \tan\widehat{ACH}=\dfrac{HA}{HC}=\dfrac34\to \widehat{ACH}=\arctan\dfrac34$

Câu 6:

a.Ta có $AC$ là đường kính của $(O)\to AD\perp CD\to AD\perp BC$

Ta có $O,H,K$ là trung điểm $AC, AD, CD$

$\to OH, OK$ là đường trung bình $\Delta ADC$

$\to OH//CD, OK//AD\to OH\perp AD, OK\perp CD$

Mà $AD\perp DC\to OHDK$ là hình chữ nhật

b.Ta có $OH\perp AD\to OH$ là trung trực của $AD$

Mà $E\in OH\to\widehat{EDO}= \widehat{EAO}=90^o$

$\to ED$ là tiếp tuyến của $(O)$

c.Tia OK cắt DE tại N và cắt (O), gọi S là giao điểm của OB và AD, đường thẳng đi qua S vuông góc vối AC cắt tia OH tại I. Chứng minh AI vuông góc BO và A,I,N thẳng hàng

Gọi $OB\cap AN=F$

Ta có $OK\perp CD\to OK$ là trung trực của $CD$

$\to \widehat{NCO}=\widehat{NDO}=90^o$ vì $DE$ là tiếp tuyến của  $(O)$

$\to \widehat{NCA}=\widehat{BAC}=90^o$

$\to AB//NC$

$\to \dfrac{BE}{CN}=\dfrac{DB}{DC}$

$\to \dfrac{2BE}{2CN}=\dfrac{DB\cdot BC}{DC\cdot BC}$

$\to \dfrac{AB}{2CN}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$

$\to \dfrac{AC}{2CN}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to \dfrac{2AO}{2CN}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to \dfrac{AO}{CN}=\dfrac{AB}{AC}$

$\to\Delta ABO\sim\Delta CAN(c.g.c)$

$\to \widehat{NAC}=\widehat{ABO}$

$\to \widehat{FAO}=\widehat{ABO}$

$\to AF\perp BO\to AN\perp BO$

Ta có $OH\perp AS, SI\perp AC\to SI\perp AO\to I$ là trực tâm $\Delta ASO\to AI\perp BO$

$\to A,I,N$ thẳng hàng