Đáp án:

a)  $m>2$

b)  $m=2$   hoặc   $m=\dfrac{2}{3}$

c)  $m=0$   hoặc   $m=-\dfrac{2}{35}$

 

Giải thích các bước giải:

${{x}^{2}}-2mx+m-2=0$

$\Delta '={{m}^{2}}-m+2$

$\Delta '=\left( {{m}^{2}}-m+\dfrac{1}{4} \right)+\dfrac{7}{4}$

$\Delta '={{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{7}{4}>0$ với mọi $m$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-et, ta có $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{cases}$

 

a)

Phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ cùng dương

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}2m>0\\m-2>0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\m>2\end{cases}$

$\Leftrightarrow m>2$

 

b)

Ta giải hệ $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1-3x_2=4\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}4x_2=2m-4\\x_1-2m-x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=\dfrac{m-2}{2}\\x_1=\dfrac{3m+2}{2}\end{cases}$

Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-2$

Ta được $\dfrac{3m+2}{2}\cdot \dfrac{m-2}{2}=m-2$

$\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-4m-4=4m-8$

$\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-8m+4=0$

$\Leftrightarrow \left( m-2 \right)\left( 3m-2 \right)=0$

$\Leftrightarrow m=2$   hoặc   $m=\dfrac{2}{3}$

 

c)

$\dfrac{1}{{{x}_{1}}}+\dfrac{1}{{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{9m-1}\,\,\,\,\,\left( * \right)$

Điều kiện: ${{x}_{1}}{{x}_{2}}\ne 0\Leftrightarrow m-2\ne 0\Leftrightarrow m\ne 2$

$\left( * \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{9m-1}$

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=0$   hoặc   ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=4\left( 9m-1 \right)$

$\Leftrightarrow 2m=0$   hoặc   $m-2=36m-4$

$\Leftrightarrow m=0$ (thỏa mãn)  hoặc  $m=\dfrac{2}{35}$ (thỏa mãn)

Phương trình `(1)` có :

`\Delta = (-2m)^2 - 4 . 1 . (m-2) =  4m^2 - 4m + 8  = 4 (m^2 - 2m + 1) + 4 = 4 (m-1)^2 + 4 > 0 \forall m \in RR`

`=>` Phương trình `(1)` luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của `m` là số thực.

Theo hệ thức Vi-ét ta có : `{(x_1+x_2=2m (1)),(x_1 . x_2 = m-2(2)):}`

`a)`

Phương trình `(1)` có hai nghiệm cùng dương `<=> {(2m>0),(m-2 >0):}`

`<=> {(m>0),(m>2):} <=>m >2`

Vậy với `m \in {m \in RR |m>2}` thì phương trình có hai nghiệm cùng mang giá trị dương.

`b)`

Từ `(1)` suy ra `x_1 = 2m - x_2`

Mà `x_1 - 3x_2 = 4`

`=> 2m - x_2  - 3x_2 = 4`

`=> 2m - 4x_2 = 4`

`=> m - 2 x_2 = 2`

`=> 2 x_2 = m-2`

`=> x_2 = (m-2)/2`

Suy ra : `x_1 = 2m - (m-2)/2 = (3m+2)/2`

Mà `x_1  . x_2 = m-2`

`=> (3m+2)/2 . (m-2)/2 = m-2`

`<=> (3m^2 - 6m + 2m - 4)/4 = m -2`

`=> 3m^2 - 4m - 4 = 4(m-2)`

`<=> 3m^2-4m-4=4m-8`

`<=>3m^2-4m-4-4m+8=0`

`<=>3m^2-8m+4=0`

`\Delta'= (-4)^2 - 3 . 4 = 16 - 12 = 4>0`

`=>` Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

`m_1 = (-(-4) + \sqrt{4})/3 = (4+2)/3 = 2` (thỏa mãn đk `m\inRR`)

`m_2 = (-(-4) - \sqrt{4})/3=  (4-2)/3=2/3` (thỏa mãn đk `m\inRR`)

Vậy với `m=2` hoặc `m=2/3`  thì `x_1-3x_2=4`

`c)`

Ta có :

`1/(x_1) + 1/(x_2) = 1/4 . (x_1+x_2)/(9m-1)` (Điều kiện `m\in RR  ; m\ne2;m\ne1/9`)

`<=> (x_1+x_2)/(x_1x_2) = (x_1+x_2)/(4(9m-1))`

`=> (2m)/(m-2) = (2m)/(4 (9m-1))`

`<=> (2m . 4 (9m-1))/((m-2) . 4 . (9m-1)) = (2m (m-2))/((m-2) . 4 . (9m-1))`

`=> 2m . 4 (9m-1) = 2m (m-2)`

`<=> 8m (9m-1) = 2m^2 - 4m`

`<=> 72m^2 - 8m - 2m^2 + 4m = 0`

`<=> 70m^2 - 4m =0`

`<=> 35m^2 - 2m =0`

`<=> m (35m - 2) =0`

`<=>m=0` hoặc `35m-2=0`

`+)m=0` (thỏa mãn đk)

`+)35m-2=0<=>35m=2<=>m=2/35` (thỏa mãn đk)

Vậy với `m=0` hoặc `m=2/35` là giá trị cần tìm.