a) Ta có tam giác ABC cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung trực của cạnh BC

Mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC nên AO là đường trung trực của cạnh BC

Từ hai điều trên suy ra AH, AO là một đường thẳng

suy ra A, H, O thẳng hàng

$\Rightarrow O\in AD$

`=>` AD là đường kính của (O)

b) Xét (O) có AD là đường kính

`=>` Tam giác ABD vuông tại B

Xét tam giác vuông BAD có BH⊥AD

`=>` AH.HD=BH² (1)

Xét tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao

`=>` AH đồng thời là trung tuyến của ΔABC

`=>` H là trung điểm của BC

`=> HB=(BC)/2`

`=>` (1) `<=>AH.HD=`$\left({\dfrac{BC}{2}}\right )²$

`=> 4AH.HD=BC²` (đpcm)

c) Ta có: $BH=\dfrac{BC}{2} =\dfrac{24}{2}=12$cm 

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH ta có:

AH²=AB²-BH²=20²-12²=256

`=>` AH=16(cm)

Ta có: 4AH.DH=BC²

`<=>4.16.DH=24²=> DH=9`(cm)

`=> AD=AH+DH=16+9=25=2R`

`=>R=12,5`(cm)