Giải thích các bước giải:

`1)`

+ Phương trình `(1)` có 2 nghiệm `x_1 ;x_2`

`<=>\Delta` $\geqslant$ `0`

`=>(-2m)^2 -4.(m-1)` $\geqslant$ `0`

`<=>4m^2 -4m+4` $\geqslant$ `0`

`<=>(2m)^2 -2.2m.1+1-1+4` $\geqslant$ `0`

`<=>(2m-1)^2 +3` $\geqslant$ `0` `\text{luôn đúng}`

`=>` Phương trình `(1)` luôn có 2 nghiệm `x_1 ;x_2` với mọi m.

+ Theo Viét ta có: $\begin{cases}x_1 +x_2 =2m(2)\\x_1 x_2 =m-1(3)\end{cases}$

+ Xét hệ thức: `Q=(x_1 -x_2)^2 +x_1 x_2`

`=>Q=x_1^2 -2x_1 x_2 +x_2^2 +x_1 x_2`

`=>Q=x_1^2 +x_2^2 -x_1 x_2`

`=>Q=(x_1 +x_2)^2 -2x_1 x_2 -x_1 x_2`

`=>Q=(x_1 +x_2)^2 -3x_1 x_2` $(*)$

+ Thay `(2);(3)` vào $(*)$ ta được:

`Q=(2m)^2 -3(m-1)`

`Q=(2m)^2 -3m+3`

`Q=(2m)^2 -2.2m. 3/4 +(3/4)^2 -(3/4)^2 +3`

`Q=(2m-3/4)^2 -9/(16) +3`

`Q=(2m-3/4)^2 +(39)/(16)`

. Vì `(2m -3/4)^2` $\geqslant$ `0 AA m`

`->(2m- 3/4)^2 +(39)/(16)` $\geqslant$ `(39)/(16) AA m`

`=>Q` $\geqslant$ `(39)/(16) AA m`

`=>min Q=(39)/(16) <=>2m - 3/4 =0`

`<=>2m =3/4`

`<=>m= 3/8`

Vậy giá trị nhỏ nhất của `Q` là `(39)/(16)` khi `m=3/8`

`2)`

+ Phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt `x_1 ;x_2`

`<=>\Delta ' > 0`

`=>(-m)^2 -(3m+9) > 0`

`<=>m^2 -3m-9 > 0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m_1 > \dfrac{3+3\sqrt{5}}{2}\\m_2 < \dfrac{3-3\sqrt{5}}{2}\end{array} \right.\) 

+ Theo Viét ta có: $\begin{cases}x_1 +x_2 =2m(2)\\x_1 x_2 =3m+9(3)\end{cases}$

+ Xét hệ thức: `(x_1^2 -2mx_1 +3)(x_2^2 -2mx_2 +9)=27` $(*)$

+ Thay `(2)` vào hệ thức $(*)$ ta được:

`[x_1^2 -(x_1 +x_2)x_1 +3][x_2^2 -(x_1 +x_2)x_2 +9]=27`

`<=>[x_1^2 -x_1^2 -x_1 x_2 +3][x_2^2 -x_1 x_2 -x_2^2 +9]=27`

`<=>(-x_1 x_2 +3)(-x_1 x_2 +9)=27` $(2*)$

+ Thay `(3)` vào $(2*)$ ta được:

`[-(3m+9)+3][-(3m+9)+9]=27`

`<=>(-3m-9+3)(-3m-9+9)=27`

`<=>(-3m-6)(-3m)=27`

`<=>9m^2 +18m-27=0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m_1 =1(ktm)\\m_2 =-3(tm)\end{array} \right.\) 

Vậy `m=-3` là giá trị cần tìm.

Đáp án:

Bài 1:  $\min_Q=\dfrac{39}{16}\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{8}$

Bài 2:  $m=-3$

 

Giải thích các bước giải:

Bài 1:

${{x}^{2}}-2mx+m-1=0$

$\Delta '={{\left( -m \right)}^{2}}-\left( m-1 \right)$

$\Delta '={{m}^{2}}-m+1$

$\Delta '=\left( {{m}^{2}}-m+\dfrac{1}{4} \right)+\dfrac{3}{4}$

$\Delta '={{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{3}{4}>0$ với mọi $m$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-et, ta có $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-1\end{cases}$

$Q={{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$Q={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$Q={{\left( 2m \right)}^{2}}-3\left( m-1 \right)$

$Q=4{{m}^{2}}-3m+3$

$Q=\left( 4{{m}^{2}}-3m+\dfrac{9}{16} \right)+\dfrac{39}{16}$

$Q={{\left( 2m-\dfrac{3}{4} \right)}^{2}}+\dfrac{39}{16}\ge \dfrac{39}{16}$ với mọi $m$

Vậy giá trị nhỏ nhất $Q$ là $\dfrac{39}{16}$

Dấu “=” xảy ra khi $2m=\dfrac{3}{4}\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{8}$

 

Bài 2:

${{x}^{2}}-2mx+3m+9=0$

$\Delta '={{\left( -m \right)}^{2}}-\left( 3m+9 \right)$

$\Delta '={{m}^{2}}-3m-9$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Thì $\Delta '>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m-9>0$

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=3m+9\end{cases}$

Với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ là nghiệm của ${{x}^{2}}-2mx+3m+9=0$

Ta có: $\begin{cases}x_1^2-2mx_1+3m+9=0\\x_2^2-2mx_2+3m+9=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_1^2-2mx_1+3=-3m-6\\x_2^2-2mx_2+9=-3m\end{cases}$

$\Leftrightarrow \left( x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+3 \right)\left( x_{2}^{2}-2m{{x}_{2}}+9 \right)=\left( 3m+6 \right).3m$

$\Leftrightarrow 27=9{{m}^{2}}+18m$

$\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}+18m-27=0$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-3=0$

$\Leftrightarrow \left( m+3 \right)\left( m-1 \right)=0$

$\Leftrightarrow m=-3$   hoặc   $m=1$

So với điều kiện ${{m}^{2}}-3m-9>0$

Ta nhận $m=-3$ và loại $m=1$

Vậy $m=-3$ thì $\left( x_{1}^{2}-2m{{x}_{1}}+3 \right)\left( x_{2}^{2}-2m{{x}_{2}}+9 \right)=27$