a) Xét hai tam giác vuông ABD và MBD có

BD cạnh chung

Góc ABD = DBM (gt)

Do đó hai tam giác này bằng nhau (cạnh huyền - góc nhọn)

b) Do hai tam giác trên bằng nhau nên

BA = BM

DA = DM

Suy ra BD là đường trung trực của AM (định lý 2)

Hay BD vuông AM

c) góc ACB = 90 - ABC = 90 - 60 = 30 độ

Góc DBM = góc ABC/2 = 60/2 = 30 độ

Vậy ∆DBC cân tại D

Ta lại có DM là đường cao xuất phát từ đỉnh D (DM vuông BC)

Nên DM cũng là đường trung tuyến của ∆DBC ứng với cạnh BC

Hay BM = MC

d) Gọi N là giao điểm của AB và CK

Xét ∆CBN có

AC là đường cao ứng với cạnh BN (AC vuông AB)

BK là đường cao ứng với cạnh CN (CK vuông BD)

CA cắt BK tại D

Do đó D là trực tâm của ∆CBN

Suy ra ND là đường cao ứng với cạnh BC

Hay ND vuông BC

Mà DM vuông BC (gt)

Nên M thuộc ND

Vậy MD, CK, AB đồng quy tại N