Vì đường cao $AI$ có đỉnh $A$
Mà $ΔABC$ là tam giác cân
Nên $AI$ là đường trung tuyến
Xét $ΔABC$ và $ΔCNA$ có hai đường chéo $AN$ và $BC$ cắt nhau tại $I$:
$AI$ = $IN$ $(gt)$
$AN$ ⊥ $BC$ $(gt)$
$BI$ = $IC$ ($AI$ là đường trung tuyến)

Do đó: $ΔABC$ = $ΔCNA$ $(c.g.c)$

⇒ $AC$ // $BN$

Gọi $P$ là giao điểm của $AC$ và $NH$
Mà $AC$ // $BN$ $(gt)$
⇒ $AP$ // $BN$
⇒ $CP$ // $BN$

Mặt khác: $BC$ = $CH$ $(gt)$

⇒ $NP$ = $PH$ (tính chất đường trung bình)

Do đó: $AP$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $NH$ trong $∆AHN$

Vì $HI$ cũng là đường trung tuyến với cạnh AN trong $∆AHN$ (vì $AI$ = $IN$)

Mà $AM$ và $IH$ cắt nhau tại $C$

⇒ $C$ là trọng tâm của $∆AHN$

⇒ $NC$ là trung tuyến với cạnh $AH$ trong $∆AHN$

Vì $∆AHC$ cũng có $CK$ là trung tuyến với cạnh $AH$

Vậy $N$, $C$, $K$ thẳng hàng

Xét tứ giác ABNC có hai đường chéo AN và BC cắt nhau tại I

AN vuông góc với BC (gt)

AI = IN (gt)

BI = IC (đường cao AI xuất phát từ đỉnh A của tam giác cân cũng là trung tuyến)

Nên tức giác ABNC là hình thoi

Suy ra AC // BN

Gọi M là giao điểm của AC và NH

Ta có CM // BN

BC = CH (gt)

Suy ra NM = MH (tính chất đường trung bình)

Suy ra AM là trung tuyến ứng với cạnh NH trong ∆ANH

HI cũng là trung tuyến ứng với cạnh AN trong ∆ANH (AI = IN)

AM và IH cắt nhau tại C

Suy ra C là trọng tâm của ∆ANH

Suy ra NC là trung tuyến ứng với cạnh AH trong ∆ANH

∆ACH cũng có CK là trung tuyến ứng với vạnh AH

Suy ra N, C, K thẳng hàng