Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Ta có:

Do $a,b,c>0$ nên $\begin{array}{l}
A = \sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{a + c}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \\
 = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{a(b + c)}}}  + \sqrt {\frac{{{b^2}}}{{b(a + c)}}}  + \sqrt {\frac{{{c^2}}}{{c(a + b)}}} \\
 = \frac{a}{{\sqrt {a(b + c)} }} + \frac{b}{{\sqrt {b(a + c)} }} + \frac{c}{{\sqrt {c(a + b)} }}
\end{array}$

Áp dụng BĐT Côsi:

$\begin{array}{l}
\sqrt {a(b + c)}  \le \frac{{a + b + c}}{2}\\
\sqrt {b(a + c)}  \le \frac{{a + b + c}}{2}\\
\sqrt {c(a + b)}  \le \frac{{a + b + c}}{2}
\end{array}$

Khi đó: $A \ge \dfrac{a}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} + \dfrac{b}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} + \dfrac{c}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} = 2$

Dấu bằng xảy ra khi:

$\left\{ \begin{array}{l}
a = b + c\\
b = a + c\\
c = a + b
\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 0$(Vô lí)

Suy ra $A>2$