Ta có : `A=1+2+2^2 +2^3 +....+2^2010 +2^2011`

`=>A=2^0 +2^1 +2^2 +2^3 +....+2^2010 +2^2011`

`A` có tất cả `(2011-0):1+1=2012` số hạng. Mà `2012\vdots 2=>` Ta sẽ gộp $2$ số hạng của $A$ là $1$ tổng 

`=>A=(2^0 +2^1)+(2^2 +2^3)+...+(2^2010 +2^2011)`

`=>A=1.(2^0 +2^1)+2^2 . (2^0 +2^1)+...+2^2010 . (2^0 +2^1)`

`=>A=(1+2^2 +...+2^2010).(2^0 +2^1)`

`=>A=(1+2^2 +...+2^2010).3`

`=>A+8=(1+2^2 +...+2^2010).3+8`

Do `3\vdots 3`

`=>(1+2^2 +...+2^2010).3\vdots 3`

`=>(1+2^2 +...+2^2010).3≡0(mod 3)`

`8≡2(mod 3)`

`=>(1+2^2 +...+2^2010).3 +8≡0+2=2(mod 3)`

`=>(1+2^2 +...+2^2010).3 +8` chia $3$ dư $2$

`=>(1+2^2 +...+2^2010).3 +8=3k+2`

`=>A=3k+2`

Mà số chính phương chỉ có dạng `3k` hoặc `3k+1`

`=>A` không phải là số chính phương

Vậy `A` không phải là số chính phương