a)  Xét  \(\Delta AEB\) và   \(\Delta AFC\) có:
     \(\widehat{AEB}=\widehat{AFC}=90^0\)
     \(\widehat{A}\)  chung
⇒ \(\Delta AEB~\Delta AFC\) (g.g)
\(\Rightarrow\)\(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\) \(\Rightarrow\)\(AF.AB=AE.AC\)

b) Xét  \(\widehat{BEC}\) có:

     \(\widehat{EBC}\) +  \(\widehat{BEC}\) + \(\widehat{ACB}\) + = $180^{0}$ 

⇔ \(\widehat{EBC}\) +\(\widehat{ACB}\) = $90^{0}$

Xét \(\Delta ACD\) có:

\(\widehat{DAC}\) + \(\widehat{ACB}\) + \(\widehat{ADC}\) = $180^{0}$ 

⇒ \(\widehat{DAC}\) + \(\widehat{ADC}\) = $90^{0}$

⇒ \(\widehat{DAC}\) =  \(\widehat{EBC}\)

Xét \(\Delta DBH\) \(\Delta DAC\) có:

\(\widehat{DAC}\) =  \(\widehat{EBC}\) (cmt)

\(\widehat{ADC}\) = \(\widehat{DBH}\)

⇒ \(\Delta DBH~\Delta DAC\) (g.g)

⇒ $\ \dfrac{DB}{DH}=\dfrac{AD}{CD}$

⇒ $\ DB.DC=DA.DH$

c) Ta có $\widehat{AHN}=\widehat{MHD}=90^o-\widehat{DHI}=\widehat{DIH}=\widehat{BIH}$

Mà $\widehat{HNA}=\widehat{DAC}=90^o-\widehat{C}=\widehat{EBC}=\widehat{HBI}$

⇒ $\ \Delta AHN\sim\Delta BIH(g.g)$
⇒ $\ \dfrac{AH}{BI}=\dfrac{HN}{IH}$
⇒ $\ HN=\dfrac{AH.HI}{BI}$

Chứng minh tương tự ( khúc này lười quá , b cminh hộ mình nhé!)

⇒ $\ HM=\dfrac{AH.HI}{CI}$

Mà I là trung điểm BC⇒ IB=IC

⇒ HM=HN

⇒ H là trung điểm MN

 

 Giải thích các bước giải: