`a)`

Ta có:`hat{OAC}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

          `hat{OMC}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

Xét tứ giác `OACM` có:

`hat{OAC}+hat{OMC}=90^o +90^o=180^o`

`⇒` tứ giác `OACM` là tứ giác nội tiếp(tổng `2` góc đối bằng `180^o)(đpcm)`

Ta có:`hat{OBD}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

          `hat{OMD}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

Xét tứ giác `OBDM` có:

`hat{OBD}+hat{OMD}=90^o +90^o=180^o`

`⇒` tứ giác `OBDM` là tứ giác nội tiếp(tổng `2` góc đối bằng `180^o)(đpcm)`

`b)`

Ta có:`AC=MC`(tính chất `2` tiếp tuyến cắt nhau)

`⇒C` nằm trên đường trung trực của `AM(1)`

          `OA=OM=R`

`⇒O` nằm trên đường trung trực của `AM(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒CO` là đường trung trực của `AM`

                      `⇒CO⊥AM` tại `E`

                      `⇒hat{OEM}=90^o`

Ta có:`BD=MD`(tính chất `2` tiếp tuyến cắt nhau)

`⇒D` nằm trên đường trung trực của `BM(3)`

          `OB=OM=R`

`⇒O` nằm trên đường trung trực của `BM(4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒DO` là đường trung trực của `BM`

                      `⇒DO⊥BM` tại `F`

                      `⇒hat{OFM}=90^o`

Ta có:`hat{AMB}=90^o`(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hay `hat{EMF}=90^o`

Xét tứ giác `OEMF` có:

`hat{OEM}=hat{OFM}=hat{EMF}=90^o`

`⇒` tứ giác `OEMF` là hình chữ nhật(tứ giác có `3` góc vuông là hình chữ nhật)

`c)`

Ta có:`hat{OMC}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒ΔOMC` vuông tại `M`

Vì `ΔOMC` vuông tại `M` có `MI` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `OC`

`⇒MI=1/2OC`

Mà `OI=1/2OC(I` là trung điểm của `OC)`

`⇒MI=OI`

Ta có:`hat{OMD}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒ΔOMD` vuông tại `M`

Vì `ΔOMD` vuông tại `M` có `MK` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `OD`

`⇒MK=1/2OD`

Mà `OK=1/2OD(K` là trung điểm của `OD)`

`⇒MK=OK`

Vì tứ giác `OEMF` là hình chữ nhật

`⇒hat{EOF}=90^o`(tính chất hình chữ nhật)

Hay `hat{IOK}=90^o`

Xét `ΔIMK` và `ΔIOK` có:

       `MI=OI(cmt)`

       `MK=OK(cmt)`

        `IK:chung`

`⇒ΔIMK=ΔIOK(c.c.c)`

`⇒hat{IMK}=hat{IOK}(2` góc tương ứng)

Mà `hat{IOK}=90^o(cmt)`

`⇒hat{IMK}=90^o`

Xét tứ giác `OIMK` có:

`hat{IMK}+hat{IOK}=90^o +90^o=180^o`

`⇒` tứ giác `OIMK` là tứ giác nội tiếp(tổng `2` góc đối bằng `180^o)(đpcm)`

`d)`

Ta có:`AC+BD=10cm(g``t)`

Mà `AC=MC`(tính chất `2` tiếp tuyến cắt nhau)

       `BD=MD`(tính chất `2` tiếp tuyến cắt nhau)

`⇒MC+MD=10cm`

`⇒CD=10cm`

Xét `ΔOCD` có:

`I` là trung điểm của `OC(g``t)`

`K` là trung điểm của `OD(g``t)`

`⇒IK` là đường trung bình của `ΔOCD`

`⇒IK=1/2CD=1/2 .10=5(cm)`

Ta có:`AB=8(cm)`

`⇒2R=8(cm)`

`⇒R=4(cm)`

`⇒OM=4(cm)`

Gọi `OM∩IK={G}`

Ta có:`IK////CD(IK` là đường trung bình của `ΔOCD)`

          `OM⊥CD`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒OM⊥IK` tại `G`

Ta có:`S_(OIMK)=S_(IMK)+S_(IOK)`

`⇒S_(OIMK)=1/2MG.IK+1/2OG.IK`

`⇒S_(OIMK)=1/2IK.(MG+OG)`

`⇒S_(OIMK)=1/2IK.OM`

`⇒S_(OIMK)=1/2 .5.4`

`⇒S_(OIMK)=10(cm²)`

Vậy `S_(OIMK)=10cm²`