a) Xét hai tam giác vuông AEH và AHB có

Góc BAH là góc chung

Do đó ∆AEH ~ ∆AHB (g.g)

Suy ra AH/AB = AE/AH

Hay AH^2 = AB.AE

b) Xét tứ giác AEFH có góc A = góc E = góc F = 90 độ

Nên tứ giác AEFH là hình chữ nhật

Suy ra góc AFE = góc AHE

Mà góc AHE = góc ABH (cùng phụ BAH)

Nên góc AFE = góc ABC

Xét hai tam giác vuông AFE và ABC có

Góc AFE = góc ABC (cmt)

Do đó ∆AFE ~ ∆ABC (g.g)

c) Xét ∆MHA có

HE là trung tuyến (ME=EA)

HE là đường cao (HE vuông AB)

Suy ra ∆HAM cân tại H

Suy ra HE là phân giác của góc H

Hay góc MHE = góc AHE

Ta lại có góc AHE = góc AFE (chứng minh ở câu trên)

Nên góc MHE = góc AFE

Mà góc MHE = góc HNA (đồng vị do HE //AN vì cùng vuông AB)

Nên góc AFE = góc HNA

Suy ra HE // FN (hai góc đồng vị bằng nhau)

Ta có góc AFE = góc ABC (chứng minh ở câu trên)

Nên góc ABC = góc ANH (= góc AFE)

d) Do góc ACH = 30 độ nên ∆ABC là nửa tam giác đều, góc ABC = 60 độ

Trong ∆ABC vuông tại A có

AO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

Suy ra AO = OB = OC

Suy ra ∆AOC cân tại O

∆AOC cân tại O có góc OCB = góc OBC = 30 độ

Xét ∆AKN có góc KAN = 30 độ

Góc ANB = góc ABC = 60 độ (chứng minh câu trên)

Nên ∆AKN vuông tại K

Xét hai tam giác vuông AKN và CHA có

Góc KHN = góc HCA = 30 độ

Do đó ∆AKN ~ ∆CHA (g.g)

Suy ra AK/CH = AN/AC = KN/AH

∆AHN có góc ANH = 60 độ

Góc HAN = 90 độ - góc ACB = 90 - 30 = 60 độ

Do đó ∆AHN đều

Trong tam đều AHN có AK là đường cao (AK vuông HN)

Nên AK = AH x căn3 /2

Ta có HAC là nửa tam giác đều cạnh AC

Với CH là đường cao, ta được CH = AC x căn3 / 2

Mà AC = 2AH

Nên CH = AH x căn3

Tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng

S(AKN)/S(CHA) = (AK/CH)^2

= (AH. căn3 /2 : AH căn3)^2 = 1/4