`(P):y=x^2`        `d:y=2(m-1)x-2m+4`

Ptr hoành độ của `(P)` và `d` là nghiệm của ptr:

             `x^2=2(m-1)x-2m+4`

       `<=>x^2-2(m-1)x+2m-4=0`  `(1)`

`d` cắt `(P)` tại `2` điểm ptr`<=>` Ptr `(1)` có `2` nghiệm phân biệt

             `<=>\Delta > 0`

             `<=>b^2-4ac > 0`

             `<=>[-2(m-1)]^2-4(2m-4) > 0`

             `<=>4m^2-4m+1-8m+16 > 0`

             `<=>4m^2-12m+9+8 > 0`

             `<=>(2m-3)^2+8 > 0` (LĐ `AA m`)

`AA m` , áp dụng hệ thức Vi-ét.

           `{(x_1+x_2=(-b)/a=2(m-1)=2m-2),(x_1.x_2=c/a=2m-4):}`

Ta có: `T=x_{1}^2+x_{2}^2`

            `=x_{1}^2+2x_1.x_2+x_{2}^2-2x_1.x_2`

            `=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2`

            `=(2m-2)^2-2(2m-4)`

            `=4m^2-8m+4-4m+8`

            `=4m^2-12m+12`

            `=4m^2-12m+9+3`

            `=(2m-3)^2+3`

Vì `(2m-3)^2 >= 0 AA m`

`<=>(2m-3)^2+3 >= 3 AA m`

`<=> T >= 3 AA m`

  `=>T_{\text{Min}}=3`

Dấu `"="` xảy ra `<=>(2m-3)^2=0`

                          `<=>2m-3=0`

                           `<=>m=3/2`

Vậy `m=3/2` thì `d` cắt `(P)` tại `2` điểm phân biệt có hoành độ `x_1,x_2` t/m biểu thức `T=x_{1}^2+x_{2}^2` đạt GTNN là `3`

Giải thích các bước giải:

+ Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)`

`x^2 =2(m-1)x-2m+4`

`<=>x^2-2(m-1)x+2m-4=0` `(1)`

+ Để `(d)` và `(P)` cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

`<=>` Phương trình `(1)` có 2 nghiệm phân biệt

`<=>Δ' > 0`

`=>[-(m-1)]^2 -(2m-4) > 0`

`<=>m^2 -2m+1-2m+4 > 0`

`<=>m^2 -4m+5 > 0`

`<=>m^2 -4m+4+1 > 0`

`<=>(m-2)^2 +1 > 0` `\text{luôn đúng}`

`=>(d)` luôn cắt `(P)` tại 2 điểm phân biệt với mọi m.

+ Vì `x_1 ;x_2` là hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P)` nên theo Viét ta có:

$\begin{cases}x_1 +x_2=2m-2(2)\\x_1 x_2 =2m-4(3)\end{cases}$

+ Xét hệ thức: `T=x_1^2 +x_2^2`

`->T=(x_1 +x_2)^2 -2x_1 x_2` $(*)$

+ Thay `(2);(3)` vào $(*)$ ta được:

`T=(2m-2)^2 -2.(2m-4)`

`->T=4m^2 -8m+4-4m+8`

`->T=4m^2 -12m+12`

`->T=(2m)^2 -2.2m.3+3^2 -3^2 +12`

`->T=(2m-3)^2 +3`

`@` Vì `(2m-3)^2` $\geqslant$ `0 AA m`

`->(2m-3)^2 +3` $\geqslant$ `3 AA m`

`=>T` $\geqslant$ `3 AA m`

Dấu $"="$ xảy ra khi `(2m-3)^2 =0`

`<=>2m-3=0<=>2m=3<=>m=3/2`

Vậy giá trị nhỏ nhất của `T` là `3` khi `m=3/2`