Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $HK\perp AB, HP\perp AC, AB\perp AC\to AKHP$ là hình chữ nhật

$\to \widehat{APK}=\widehat{KAH}=90^o-\widehat{HAC}=\widehat{ACH}=\widehat{ACB}$ 

Mà $\widehat{KAP}=\widehat{BAC}$

$\to\Delta APK\sim\Delta ABC(g.g)$

b.Từ câu a $\to \dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AK}{AC}$

$\to \dfrac{AP}{AK}=\dfrac{AB}{AC}$

Mà $\widehat{BAP}=\widehat{CAK}$

$\to\Delta ABP\sim\Delta ACK(c.g.c)$

$\to\widehat{ABP}=\widehat{ACK}$

c.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\to AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=8$

Mà $AH\perp BC$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12AB\cdot AC$

$\to AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4.8$

Do $APHK$ là hình chữ nhật

$\to PK=AH=4.8$

Ta có: $\Delta AHB$ vuông tại $H\to BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=3.6$

Do $HK\perp AB\to HK\cdot AB=HA\cdot HB(=2S_{HAB})$

$\to HK=\dfrac{HA\cdot HB}{AB}=2.88$

$\to AK=\sqrt{AH^2-HK^2}=3.84$

Do $AKHP$ là hình chữ nhật $\to AP=HK=2.88$

$\to S_{APK}=\dfrac12AP\cdot AK=5.5296$

      $P_{APK}=AP+PK+KA=11.52$

d.Ta có: $S_{ABC}=\dfrac12AH\cdot BC=\dfrac12AB\cdot AC$

$\to AH\cdot BC=AB\cdot AC$

$\to (AH\cdot BC)^2=(AB\cdot AC)^2$

$\to AH^2\cdot BC^2=AB^2\cdot AC^2$

$\to \dfrac1{AH^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2\cdot AC^2}$

$\to \dfrac1{AH^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2\cdot AC^2}$

$\to\dfrac1{AH^2}=\dfrac1{AC^2}+\dfrac1{AB^2}$

$\to đpcm$