a) Xét hai tam giác vuông AHB và AHC có

AH cạnh chung

AB = AC (∆ABC cân tại A)

Do đó ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) ∆AHB = ∆AHC (câu a)

Nên góc BAH = góc CAH

Mà góc CAH = góc DHA (so le trong)

Nên góc BAH = góc DHA

Suy ra ∆DAH cân tại D

Suy ra DA = DH

c) Ta có BH = HC (∆ABH = ∆ACH)

Nên AH là trung tuyến ứng với cạnh BC

Ta có góc ABC = góc ACB (∆ABC cân tại A)

Mà góc ACB = góc DHB (đồng vị)

Nên góc ABC = góc DHB

Suy ra ∆DBH cân tại D

Suy ra DB = DH

Mà DH = DA (câu b)

Nên DA = DB

Suy ra CD là đường trung tuyến ứng với cạnh AB

Xét ∆ABC có

CD là trung tuyến từ đỉnh C

AH là trung tuyến từ đỉnh A

AH cắt CD tại G

Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC

Ta lại có BE là trung tuyến ứng với cạnh AC (EA = EC)

Nên BE đi qua G

Hay B, G, E thẳng hàng

d) Trên tia đối của tia EB lấy điểm K sao cho BE = EK

Xét tứ giác ABCK có hai đường chéo AC và BK cắt nhau tại E

Ta có AE = EC (gt)

BE = EK (cách vẽ)

Nên tứ giác ABCK là hình bình hành

Suy ra BC = AK

Trong ∆BAK luôn có

AB + AK > BK

Mà AK = BC

BK = 2BE

Nên AB + BC > 2BE

Do BE là trung tuyến và G là trọng tâm

Nên BG = 2BE/3

Hay 2BE = 3BG

Ta được AB + BC > 3BG (1)

Trong ∆AHC luôn có

AC > AH (cạnh huyền > cạnh góc vuông) (2)

Cộng hai vế của (1) và. (2) ta được

AB + BC + AC > AH + 3BG

Hay chu vi ∆ABC > AH + 3BG