a)

Kẻ $OC\bot MN$ tại $C$

Tứ giác $MAOC$ có $\widehat{MAO}=\widehat{MCO}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{MAO}+\widehat{MCO}=180{}^\circ $

$\Rightarrow MAOC$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{OMC}=\widehat{OAC}$ (cùng chắn cung $OC$)

 

Tứ giác $NBOC$ có $\widehat{NBO}=\widehat{NCO}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{NBO}+\widehat{NCO}=180{}^\circ $

$\Rightarrow NBOC$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{ONC}=\widehat{OBC}$ (cùng chắn cung $OC$)

 

Vậy $\widehat{OMC}+\widehat{ONC}=\widehat{OAC}+\widehat{OBC}$

Mà $\widehat{OMC}+\widehat{ONC}=90{}^\circ $ (vì $\Delta MON$ vuông tại $O$)

Nên $\widehat{OAC}+\widehat{OBC}=90{}^\circ $

Do đó $\Delta CAB$ vuông tại $C$

Điều đó  chứng tỏ $C\in \left( O \right)$

Vậy $MN$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

 

b)

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta NBO$, ta có:

+  $\widehat{OAM}=\widehat{NBO}=90{}^\circ $

+  $\widehat{AOM}=\widehat{BNO}$ (cùng phụ $\widehat{BON}$)

Nên $\Delta OAM\backsim\Delta NBO\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AO}{BN}=\dfrac{AM}{BO}$

$\Rightarrow AM.BN=AO.BO$

$\Rightarrow AM.BN=\dfrac{AB}{2}\cdot \dfrac{AB}{2}$

$\Rightarrow AM.BN=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$

 

c)

${{S}_{\Delta MON}}=\dfrac{1}{2}OC\cdot MN$

${{S}_{\Delta MON}}=\dfrac{1}{2}R\cdot \left( CM+CN \right)$

${{S}_{\Delta MON}}=\dfrac{1}{2}R\cdot \left( AM+BN \right)$

${{S}_{\Delta MON}}\ge \dfrac{1}{2}R\cdot 2\sqrt{AM.BN}$

${{S}_{\Delta MON}}\ge R\sqrt{\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}}$

${{S}_{\Delta MON}}\ge R\cdot \dfrac{AB}{2}$

${{S}_{\Delta MON}}\ge R\cdot \dfrac{2R}{2}$

${{S}_{\Delta MON}}\ge {{R}^{2}}$ (const)

 

Vậy diện tích $\Delta MON$ nhỏ nhất bằng ${{R}^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $AM=BN$

Ta có $AM.BN=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$

$\Rightarrow AM.AM=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}$

$\Rightarrow A{{M}^{2}}={{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}$

$\Rightarrow AM=\dfrac{AB}{2}$

$\Rightarrow AM=R$

$\Rightarrow AM=BN=R$

 

Vậy ${{S}_{\Delta MON}}$ nhỏ nhất bằng ${{R}^{2}}$ khi $M,N$ di động sao cho $AM=BN=R$