XIN HAY NHẤT

Ta có: $\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c}$ 

          $\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c}$ 

          $\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{c}{a+b+c}$

$⇒$ Cộng vế theo vế, ta được:

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}=\dfrac{a+b+c}{a+b+c}=1$

$⇒\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>1$                $(1)$

Mặt khác:$\dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a+c}{a+b+c}$ 

                $\dfrac{b}{b+c}<\dfrac{b+a}{a+b+c}$ 

                $\dfrac{c}{a+c}<\dfrac{c+b}{a+b+c}$

$⇒$ Cộng vế theo vế, ta được:

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<\dfrac{a+c}{a+b+c}+\dfrac{b+a}{a+b+c}+\dfrac{c+b}{a+b+c}$

                                                   $=\dfrac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$      $(2)$

$⇒\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<2$

Từ $(1)$ và $(2)$ $⇒1<\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}<2$

Vì $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$ bị kẹp giữa 2 số tự nhiên liên tiếp

$⇒\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$ không là số tự nhiên.

Vậy $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$ không là số tự nhiên.