Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)AB < AC < BC\left( {do:3 < 4 < 5} \right)\\
 \Rightarrow \widehat C < \widehat B < \widehat A\\
b)\left\{ \begin{array}{l}
A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\\
B{C^2} = 25
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\
 \Rightarrow \widehat A = {90^0}\left( {theo\,Pytago} \right)\\
Xét:\Delta BAH;\Delta BDH:\\
 + \widehat {BAH} = \widehat {BDH} = {90^0}\\
 + BA = BD\\
 + BH\,chung\\
 \Rightarrow \Delta BAH = \Delta BDH\left( {ch - cgv} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {ABH} = \widehat {DBH}
\end{array}$

=> BH là tia phân giác của góc ABC

c) Gọi BH cắt AD tại P

=> ΔABP = ΔDBP (c-g-c)

=> AP = DP và góc APB = góc DPB = 90 độ

=> BH là đường trung trực của AD
d)

Gọi E là điểm đối xứng của A qua M

=> MA = ME

=> MA = AE/2

Ta cm được ΔMAB = ΔMEC (c-g-c)

=> AB = EC và AB//EC

=> ΔABC = ΔCEA (c-g-c)

=> BC = AE
=> BC =2. MA

Mà BC= 2MC
=> MA = MC

=>ΔAMC cân tại M