a) Xét hai tam giác vuông BMC và CNB có

Góc ABC = góc ACB (∆ABC cân tại A)

BC cạnh chung

Do đó ∆BMC = ∆CNB (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra BM = CN

Mà AB = AC (gt)

Nên AM = AN

b) Do AM = AN nên ∆AMN cân tại A

Góc AMN = (180 độ - góc BAC)/2

Ta lại có: góc ABC = (180 độ - góc BAC)/2 (∆ABC cân tại A)

Nên góc AMN = góc ABC

Suy ra MN // BC (hai góc đồng vị bằng nhau)

c) Xét ∆ABC cân tại A có

CM là đường cao (CM vuông AB)

BN là đường cao (BN vuông AC)

BN cắt CM tại H

Suy ra H là trực tâm của ∆ABC

Suy ra AH là đường cao

∆ABC cân tại A có đường cao AH

Suy ra AH là trung tuyến ứng với cạnh BC

Mà O là trung điểm của BC

Nên AH đi qua O

Hay A, H, O thẳng hàng

d) ∆ABC đều nên trực tâm cũng là trọng tâm của tam giác

Suy ra AH = 2AO/3

Suy ra AO = 3AH/2 = 3.8/2 = 12cm

Áp dụng định lý Pytago vào ∆ABH vuông tại H, ta có

AB^2 = BO^2 + AO^2

Mà BO = BC/2 (gt)

BC = AB (∆ABC đều)

Nên AB^2 = (AB^2)/4 + AO^2

(3AB^2)/4 = AO^2

AB^2 = (4AO^2)/3

AB = 2AO/căn3 = 24/căn3 = 8.căn3 (cm)

Hay BC = 8.căn3 (cm)