Đáp án:

a)Do PA và PC là 2 tiếp tuyến của (O) nên PA = PC.

Ta có : PA = PC và OA = OC 

nên PO là trung trực của AC.

Từ đó suy ra PO vuông AC nên CM vuông góc với OM.

Tương tự : QO là trung trực của BC nên QO vuông góc BC.

Từ đó suy ra CN vuông ON.

Mà : AB là đường kính nên:

$\widehat {ACB} = {90^0}$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 

Do đó AC vuông góc BC, do vậy CM vuông góc CN.

Suy ra: CMON là hình chữ nhật 

=>CMON là tứ giác nội tiếp.

CMON là hình chữ nhật 

⇒OC=MN (hai đường chéo của hình chữ nhật)

Ta có OP ⊥ AC, QO ⊥ BC, AC ⊥ BC nên OP⊥ OQ.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác POQ ta có :

$C{O^2} = PC.QC \Rightarrow M{N^2} = PA.QB$

b) Gọi I  là trung điểm của PQ

=> I là tâm đườg tròn ngoại tiếp tam giác POQ vì tam giác PQO vuông tại O

Ta có: PA ⊥ AB, QB ⊥ AB

=>  PA // QB.

=> APQB là hình thang.

Có I là trung điểm PQ và O là trung điểm AB nên IO là đường trung bình APQB.

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IO//PA\\
IO = \dfrac{{PA + QB}}{2} = \dfrac{{PC + QO}}{2} = \dfrac{{PQ}}{2} = IP = IQ
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow OI \bot AB = O
\end{array}$

=> AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính PQ.