Giải thích các bước giải:

a.Vì $BD,CE$ là đường cao $\Delta ABC\to BD\perp AC, CE\perp AB$

$\to\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to BCDE$ nội tiếp 

$\to 4 $ điểm B, C, E, D cùng thuộc một đường tròn

b.Ta có $\widehat{HDC}=\widehat{HEA}=90^o$
$\to AEHD$ nội tiếp

$\to\widehat{HDE}=\widehat{HAE}=\widehat{ECB}=\widehat{NMB}$

$\to DE//MN$

c.Vì $AH$ là đường kính của đường tròn 

$\to \widehat{AKH}=90^o\to \widehat{AKQ}=90^o$

$\to AQ$ là đường kính của (O)

$\to QB\perp AB, QC\perp AC$

$\to QB//CH, QC//BH$

$\to BHCQ$ là hình bình hành

d.Do $AEHD$ nội tiếp (cmt)$\widehat{AEH}=90^o\to AH$ là đường kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta ADHE\to AH\ge DE$

Từ câu c$\to HQ\cap CB=I$ là trung điểm mỗi đường

Mà $O$ là trung điểm AQ

$\to OI$ là đường trung bình $\Delta AHQ\to OI=\dfrac12AH$

Ta có $\widehat{AHE}=\widehat{ADE}=\widehat{ABC}=\widehat{ANE}$

$\to\Delta ANH$ cân tại $A$
Mà $AE\perp NH\to E$ là trung điểm $NH$

Do $DE//MN\to DE$ là đường trung bình $\Delta HMN$

$\to MN=2DE\le 2AH$ vì $AH\ge DE$

$\to MN\le 2\cdot 2OI$

$\to \dfrac{OI}{MN}\ge \dfrac14$

Dấu = xảy ra khi $DE=AH\to\widehat{EAD}=90^o$ vô lý vì $\Delta ABC$ nhọn

$\to \dfrac{OI}{MN}>\dfrac14$