Giải thích các bước giải:

a.Vì $CM, CA$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to CM\perp OM, CA\perp OA$

$\to \widehat{CMO}=\widehat{CAO}=90^o$

$\to OACM$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$

Tương tự chứng minh được $OBDM$ nội tiếp đường tròn đường kính $OD$

b.Vì $CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)\to CO\perp AM\to OE\perp ME$
Tương tự $OD\perp MB\to OF\perp FM$

Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to MA\perp MB\to ME\perp MF$

$\to OEMF$ là hình chữ nhật

c.Ta có: $CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)\to OC$ là phân giác $\widehat{AOM}$

Tương tự $OD$ là phân giác $\widehat{MOB}$

Mà $\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^o$

$\to OC\perp OD$

$\to \widehat{IOK}=90^o$

Ta có: $\Delta MCO,\Delta MOD$ vuông tại $M$ và $I, K$ là trung điểm $OC, OD$

$\to IM=IC=IO=\dfrac12OC, MK=KO=KD=\dfrac12OD$

$\to \Delta IMO,\Delta KMO$ cân tại $I, K$

$\to \widehat{IMO}=\widehat{IOM},\widehat{KMO}=\widehat{KOM}$

$\to \widehat{IMK}=\widehat{IMO}+\widehat{OMK}=\widehat{IOM}+\widehat{KOM}=\widehat{IOK}=90^o$

$\to OIMK$ nội tiếp đường tròn đường kính $IK$

d.Ta có: $OA=OB=\dfrac12AB=4(cm)$

Xét $\Delta ACO,\Delta BOD$ có:

$\widehat{CAO}=\widehat{OBD}(=90^o)$

$\widehat{COA}=90^o-\widehat{DOB}=\widehat{ODB}$ vì $\widehat{COD}=90^o$

$\to \Delta OCA\sim\Delta DOB(g.g)$

$\to\dfrac{AC}{OB}=\dfrac{OA}{BD}$

$\to AC\cdot BD=OA\cdot OB=16$

Mà $AC+BD=10$

$\to AC, BD$ là nghiệm phương trình:
$x^2-10x+16=0$

$\to (x-2)(x-10)=0$

$\to x-2=0$ hoặc $x-10=0$

$\to x=2$ hoặc $x=10$

Vì $AC>BD\to AC=10, BD=2$

$\to OC=\sqrt{AC^2+OA^2}=2\sqrt{29}, OD=\sqrt{OB^2+BD^2}=2\sqrt5$

$\to IO=\sqrt{29}, KO=\sqrt5$

Xét $\Delta IOK,\Delta IMK$ có:

Chung $IK$

$IO=IM$

$KO=KM$

$\to\Delta OIK=\Delta MIK(c.c.c)$

$\to S_{OIK}=S_{MIK}$

$\to S_{OIMK}=2S_{OIK}=2\cdot\dfrac12OI\cdot OK=OI\cdot OK=\sqrt{145}$