a)

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90{}^\circ $

Nên $ABCD$ nội tiếp được đường tròn

 

b)

Xét tứ giác $ABHK$ có $\widehat{BAK}=\widehat{BHK}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{BAK}+\widehat{BHK}=180{}^\circ $

$\Rightarrow ABHK$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{AHK}=\widehat{ABK}$ (cùng chắn cung $AK$)

 

Xét tứ giác $CHKD$ có $\widehat{CDK}=\widehat{CHK}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \widehat{CDK}+\widehat{CHK}=180{}^\circ $

$\Rightarrow CHKD$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{DHK}=\widehat{DCK}$ (cùng chắn cung $DK$)

 

Vì $ABCD$ nội tiếp (cmt)

Nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (cùng chắn cung $AD$)

Hay là $\widehat{ABK}=\widehat{DCK}$

Mà: $\begin{cases}\widehat{ABK}=\widehat{AHK}\\\widehat{DCK}=\widehat{DHK}\end{cases}\,\,\,\left(cmt\right)$

Nên: $\widehat{AHK}=\widehat{DHK}$

Vậy $HK$ là tia phân giác $\widehat{AHD}$

 

c)

Ta có tứ giác $ABCD$ nội tiếp với $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90{}^\circ $

Tức là $ABCD$ nội tiếp với đường kính $BC$

Gọi $O$ là trung điểm cạnh $BC$

Thì $O$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$

$\Rightarrow \left( O \right)$ cố định vì $A,B,C$ cố định

Do đó $D$ chạy trên cung nhỏ $AC$ của $\left( O \right)$