Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AF$ là phân giác góc $A$

$\to \widehat{BAF}=\widehat{FAC}$

Mà $AA'$ là đường kính của (O)

$\to \widehat{ACA'}=90^o=\widehat{ADB}$

Do $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AA'C}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta AA'C(g.g)$

$\to\widehat{BAD}=\widehat{A'AC}$

$\to \widehat{KAF}=\widehat{BAF}-\widehat{DAB}=\widehat{FAC}-\widehat{A'AC}=\widehat{FAA'}$

$\to AF$ là phân giác $\widehat{KAA'}$

Mà $AF\perp A'F$ vì $AA'$ là đường kính của (O)

$\to \Delta AKA'$ có đường cao vừa là phân giác

$\to\Delta AKA'$ cân tại A

Vì $AF\perp KA'\to FK=FA'$

b.Ta có $\widehat{FIC}=\widehat{IAC}+\widehat{ICA}=\widehat{BAF}+\widehat{ICB}=\widehat{BCF}+\widehat{ICB}=\widehat{ICF}$

$\to \Delta FCI$ cân tại $F$

$\to FI=FC$

Mà $\widehat{ADH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to ADFH$ nội tiếp

$\to\widehat{CHF}=\widehat{DHF}=\widehat{DAF}=\widehat{KAF}=\widehat{FAA'}=\widehat{FCA'}$

$\to\Delta FCA'\sim\Delta FHC(g.g)$

$\to \dfrac{FC}{FH}=\dfrac{FA'}{FC}$

$\to FC^2=FA'.FH$

$\to FI^2=FK.FH$

$\to \dfrac{FI}{FK}=\dfrac{FH}{FI}$

Mà $\widehat{IFK}=\widehat{IFH}=90^o$

$\to\Delta FIH\sim\Delta FKI(c.g.c)$

$\to \widehat{KIF}=\widehat{IHF}$

$\to \widehat{KIH}=\widehat{KIF}+\widehat{FIH}=\widehat{IHF}+\widehat{FIH}=90^o$

c.Ta có $G\in$ Đường tròn đường kính AH
$\to \widehat{MGH}=\widehat{AGH}=90^o$

Mà $\widehat{HIK}=90^o\to\widehat{MIK}=90^o$

Ta có $HI\perp IK, IF\perp HK\to HI^2=HF.HK$

Mà $\widehat{HGF}=\widehat{HAF}=\widehat{HDF}=\widehat{EDF}=\widehat{EKF}=\widehat{EKH}$

$\to \Delta HGF\sim\Delta HKG(g.g)$

$\to\dfrac{HG}{HK}=\dfrac{HF}{HG}$

$\to HG^2=HF.HK$

$\to HG^2=HI^2$

$\to MH^2-HG^2= MH^2-HI^2$

$\to MG^2=MI^2$

$\to MG=MI$