Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AH$ là đường kính của (I)
$\to HM\perp AB,HN\perp AC$

Mà $AB\perp AC$ vì $BC$ là đường kính của (O)

$\to AMHN$ là hình chữ nhật

$\to\widehat{AMN}=\widehat{MAH}=\widehat{BAH}=\widehat{ACB}(=90^o-\widehat{HAC})=\widehat{OCA}=\widehat{OAC}$

$\to OA\perp MN$

b.Vì $E$ là trung điểm $HK\to IE$ là đường trung bình $\Delta HAK$

$\to IE//AK\to IE//AO$ mà $AO\perp MN\to IE\perp MN$

$\to E\in$Trung trực của $MN\to ME=EN$

Vì $AK$ là đường kính của (O)

$\to BK\perp AB$

Mà $HM\perp AB\to HM//BK\to HMBK$ là hình thang

Gọi $D$ là trung điểm $BM$

$\to DE$ là đường trung bình $\Diamond BMHK$

$\to DE//HM\to DE\perp BM$

Vì $D$ là trung điểm $BM\to DE$ là trung trực của $BM\to EM=EB$

Tương tự $\to EN=EC$

$\to EM=EN=EC=EB$

$\to E$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC.

c.Gọi $AQ\cap BC=F$

Ta có $(O)\cap (I)=QA\to OI\perp AQ$

Mà $AH\perp BC\to AH\perp FO\to I$ là trực tâm $\Delta AFO$

$\to FI\perp AO$

Mà $MN\perp AO\to MI\perp AO$

$\to F,M,I$ thẳng hàng

$\to F,M,N$ thẳng hàng

$\to AQ, BC,MN$ đồng quy