Đáp án:

a) Xét tam giác ABC có O là trung điểm của AB, lại có OA=OB=OC

=> Tam giác ABC vuông tại C (t.c)

b)

Xét tam giác ABC vuông tại C, theo pytago:

$\begin{array}{l}
A{C^2} = A{B^2} - B{C^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {R^2} = 3{R^2}\\
 \Rightarrow AC = \sqrt 3 R
\end{array}$

Tam giác ABD vuông tại B có BC là đường cao:

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{B{D^2}}}\\
 \Rightarrow \frac{1}{{B{D^2}}} = \frac{1}{{{R^2}}} - \frac{1}{{4{R^2}}} = \frac{3}{{4{R^2}}}\\
 \Rightarrow BD = \frac{{2\sqrt 3 R}}{3}
\end{array}$

d)

Tam giác BCD vuông tại C nên nội tiếp đường tròn đường kính BD

=> O' là trung điểm BD

=> tam giác O'CD cân tại O' => góc O'CD = góc O'DC (1)

Góc OCA= góc OAC (2)

Góc OAC + góc O'DC = 90 độ

=> góc OCA + góc O'CD = 90 độ 

=> góc OCO' = 90 độ

=> OC vuông góc với O'C

=> O'C là tiếp tuyến của (O)