Bài 6

a) Xét ∆BAD có

AB = BD (gt)

Nên ∆BAD cân tại B

Mà góc ABD = 60 độ

Nên ∆BAD đều

b) ∆ABC vuông tại A có góc ABC = 60 độ

Nên góc BCA = 90 - 60 = 30 độ

Ta lại có góc IBC = góc ABC/2 = 60/2 = 30 độ (BI là phân giác của góc B)

∆BIC có góc IBC = góc ICB

Nên ∆BIC cân tại I

c) Xét ∆ABI và ∆DBI có

AB = BD (gt)

Góc ABI = góc DBI (gt)

BI cạnh chung

Do đó ∆ABI = ∆BDI (c.g.c)

Suy ra góc BDI = góc BAI = 90 độ

Suy ra ID vuông BC

Hay ID là đường cao ứng với cạnh BC

Xét ∆BIC cân tại I có ID là đường cao

Suy ID là trung tuyến

Suy ra BD = DC

Hay D là trung điểm của BC

d) Ta có D là trung điểm của BC (câu c)

Suy ra AD là trung tuyến ứng với cạnh BC

E là trung điểm AC (gt)

Suy ra BE là trung tuyến ứng với cạnh AC

BE cắt AD tại G

Suy ta G là trọng tâm của ∆ABC

Suy CG là trung tuyến ứng với cạnh AB

Hay CG đi qua trung điểm của AB

e) Cách 1

có AB = BD

Mà BD = DC

Nên AB = BD = DC = BC/2

Suy ra BC = 2AB = 12 cm

Áp dụng định lý Pytago vào ∆ABC vuông tại A ta có

BC^2 = AB^2 + AC^2

Suy ra AC^2 = BC^2 - AB^2 = 12^2 - 6^2 = 108

Suy ra AC = căn108 = 6căn3 cm

Cách 2:

∆ABC vuông tại A có góc B = 60 độ

Suy ∆ABC là nửa tam giác đều cạnh BC

Suy ra BC = 2AB = 12cm

AC = (BC.căn3)/2 = 6căn3 cm

Bài 5

a) Ta có AB^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25

AC^2 = 5^2 = 25

Vậy AB^2 + BC^2 = AC^2

Do đó ∆BAC vuông tại B

b) Xét hai tam giác vuông ABD và AED có

AD cạnh chung

Góc BAD = góc EAD (gt)

Do đó ∆ABD = ∆EAD (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ta BD = DE

c) Xét hai tam giác vuông BDF và EDC có

BD = DE (câu b)

Góc BDF = góc EDC (đối đỉnh)

Do đó ∆BDF = ∆EDC (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)

Suy ra DF = DC

Trong ∆EDC vuông tại E luôn có

DC > DE (cạnh huyền > cạnh góc vuông)

Nên DF > DE

d) Ta có AB = AE (∆ABD = ∆AED)

BF = CE (∆BDF = ∆EDC)

Nên AF = AC

Ta có AB + BC > DE + AC

AB + BC > DE + (AB + BF)

BC > DE + BF

BD + DC > DE + BF

DC > BF

DC > EC (luôn đúng)

Suy ra AB + BC > DE + AC