a) Xét hai tam giác vuông ABC và HAC có

Góc ACB góc chung

Do đó ∆ABC ~ ∆HAC (g.g)

Suy ra BC/AC = AC/HC

Hay AC^2 = BC.HC

b) ∆ABC vuông tại A, có AH là đường cao

Ta có

AB^2 = BH.BC

Suy ra BH = AB^2 / BC = 2^2 / 4 = 1 cm

HC = BC - BH = 4 - 1 = 3 cm

AH^2 = BH.HC = 1.3 = 3

Suy ra AH = căn3 cm

AC^2 = HC.BC = 3.4 = 12

Suy ra AC = 2căn3 cm

c) Theo tính chất đường phân giác, ta có

IA/IH = AC/CH = 2căn3 / căn3 = 2

Ta lại có AB/AH = 2/1 = 2

Nên IA/IH = AB/AH = 2

d) Ta có QN // HC

Mà góc AHC = 90 độ (AH vuông BC)

Nên góc HQN = 90 độ (trong cùng phía với AHC)

Hay QNCH là hình thang vuông

Do QN // BC

Nên ∆AQN ~ ∆QHC

Suy ra AQ/AH = QN/HC

Suy ra QN = AQ.HC/AH = 1.3/căn3 = căn3 cm

Diện tích QNCH = (QN + HC).QH/2 = (căn3 + 3).(căn3 - 1)/2 = căn 3 cm^2

e) Theo tính chất đường phân giác, ta có

BK/KH = AB/AH

Hay (BK +KH)/KH = (AB + AH)/AH

Hay BH/KH = (2 + căn3)/căn3 = (2căn3 + 3)/3

Tương tự ta có:

AI/IH = AC/CH

Hay (AI + IH)/IH = (AC + CH)/CH

Hay AH/IH = (2căn3 + 3)/3

Do đó BH/KH = AH/IH = (2căn3 + 3)/3

Nên AB // IK