a) Ta có E là trung điểm AC (gt)

D là trung điểm BC (gt)

Suy ra DE là đường trung bình của ∆ABC

Hay DE // AB ; DE = AB/2

Suy ra góc ABC = góc EDC (đồng vị)

Góc BAC = góc DEC (đồng vị)

Ta có:

Góc BAC + góc ABK = 90 độ

Góc ODE + góc EDC = 90 độ (O thuộc trung trực của BC nên OD vuông BC)

Mà góc BAC = góc EDC

Nên góc ABK = góc ODE

Chứng minh tương tự, ta được: góc ABH = góc OED

b) Xét ∆AHB và ∆DOE có

Góc BAH = góc ODE (câu a)

Góc ABH = góc OED (chứng minh ở câu a)

Do đó ∆AHB ~ ∆DOE (g.g)

c) Ta có OD/AH = DE/AB = 1/2 (∆AHB ~ ∆DOE)

GD/AG = 1/2 (G là trọng tâm)

Xét ∆AHG và ∆DOG có

OD/AH = GD/GA = 1/2

Góc HAG = góc GDO (so le trong, AH//OD do cùng vuông BC)

Do đó ∆AHG ~ ∆DOG (c.g.c)

d) Do ∆AHG ~ ∆DOG (câu c)

Suy ra góc AGH = góc DGO

Mà góc AGH và góc DGO ở vị trí đối đỉnh

A, G, D thẳng hàng

Nên H, G, O thẳng hàng

Chú thích

H là trực tâm, G là trọng tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp thẳng hàng tạo thành một đường thẳng. Đường thẳng này là đường thẳng Euler (Ơ-le).

Từ hai tam giác đồng dạng ở câu c, ta được HG = 2OG