Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$DB,DC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn lần lượt tại $B,C$

$\to \widehat{DBO}=\widehat{DCO}=90^0$

$\to \widehat{DBO}+\widehat{DCO}=180^0$

$\to $ Tứ giác $BDCO$ nội tiếp.

b) Ta có:

$DB,DC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại $D$, tiếp điểm lần lượt là $B,C$

$\to DB=DC$

$\to DO$ là trung trực của $BC$

$\to DO\bot BC=F$

$\to DC^2=DF.DO$ (Hệ thức lượng trong tam giác $DCO$ vuông ở $C$ có $CF\bot DO$)

Lại có:

Hai tam giác $DCE$ và $DAC$ có:

$\widehat{D}$ chung

$\widehat{DCE}=\widehat{DAC}(=\widehat{EAC})$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung)

$\to \Delta DCE\backsim \Delta DAC(g.g)$

$\to \dfrac{DC}{DE}=\dfrac{DA}{DC}$

$\to DC^2=DA.DE$

Như vậy: $DA.DE=DF.DO(=DC^2)$

c) Ta có:

$DA.DE=DF.DO\to \dfrac{DE}{DO}=\dfrac{DF}{DA}$

Xét tam giác $DEF$ và $DOA$ có

$\widehat{D}$ chung

$\dfrac{DE}{DO}=\dfrac{DF}{DA}$

$\to \Delta DEF\backsim \Delta DOA(c.g.c)$

$\to \widehat{DEF}=\widehat{DOA}$

$\to $ Tứ giác $EFOA$ nội tiếp.

$\to \widehat{FEA}=\widehat{FOB}(1)$

Lại có: 

Do $DO\bot CB=F\to F$ là trung điểm của $CB$

$\to FO$ là đường trung bình của tam giác $ACB$

$\to FO//AC$

$\to \widehat{FOB}=\widehat{CAB}$

$\to \widehat{FOB}=\widehat{HCB}(2)$

Từ $(1),(2) \to \widehat{FEA}=\widehat{HCB}\to \widehat{FEI}=\widehat{FCI}$

$\to$ Tứ giác $CEFI$ nội tiếp.

Ta có:

$\widehat{CEF}=\widehat{CEA}+\widehat{FEA}=\widehat{CBA}+\widehat{FOB}$

$=\widehat{FBO}+\widehat{FOB}$

$=90^0$

$\to \widehat{CEF}=90^0$

Mà tứ giác $CEFI$ nội tiếp $\to \widehat{CEF}+\widehat{CIF}=180^0$

$\to \widehat{CIF}=90^0$

$\to FI\bot CH\to FI//HB$

Lại có: $F$ là trung điểm của $CB$ và $I\in CH$

$\to I$ là trung điểm của $CH$