a)   Theo GT MI⊥BC=>MKB=90 độ
=>MIB+MKB=180độ mà đây là hai góc đối=>BIMK nội tiếp
(CM tứ giác CIMH nội tiếp tương tự như trên nha)

 
b)  theo trên tứ giác BIMK nội tiếp=>KMI+KBI=180 độ

tứ giác CIMH nội tiếp=>HMI+HCI=180 độ.

Mà=>KBI=HCI( vì tam giác ABC CÂN TẠI A)=>KMI=HMI  (1)

---Theo trên tứ giác BIMK nội tiếp B1=I1(nội tiếp cùng chắn cung KM)

   tứ giác CIMH Nội tiếp C1=H1  (nội tiếp cùng chắn cung IM)

  Mà B1=C1 (=1/2 sđ BM )=>I1=H1     (2)

Từ 1 và 2 =>ΔKMI ≈ ΔMIH=>MI/MH=MK/MI=>MI2=MH.MK

c)  Từ trên ta có: góc I1=góc C1; CM tương tự ta có: góc I2=B2
 mà ∠C1+∠B2+∠BMC=180độ

=>∠I1+∠I2+∠BMC=180 độ hay ∠PIQ+∠PMQ=180 độ đây là góc đối 

  =>tứ giác PMQI nội tiếp =>∠Q1=∠I1

mà ∠I1=∠C1=>∠Q1=∠C1
                    =>PQ//BC (Vì có 2 góc đồng vị bằng nhau)
   
Theo GT MI⊥BC nên suy ra IM⊥PQ
   

∠:nghĩa là góc nha!



     

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $MI\perp BC, MP\perp AB, MH\perp AC$

$\to \widehat{MIB}=\widehat{MKB}=90^o, \widehat{MIC}=\widehat{MHC}=90^o$

$\to BIMK, CIMH$ nội tiếp đường tròn đường kính $MB, MC$

b.Xét $\Delta MIK,\Delta MIH$ có:

$\widehat{MKI}=\widehat{MBI}=\widehat{MBC}=\widehat{MCH}=\widehat{MIH}$

$\widehat{MIK}=\widehat{MBK}=\widehat{MCB}=\widehat{ICM}=\widehat{IHM}$

$\to\Delta MIK\sim\Delta MHI(g.g)$

$\to\dfrac{MI}{MH}=\dfrac{MK}{MI}$

$\to MI^2=MH\cdot MK$

c.Từ câu b ta có:

$\widehat{KIM}=\widehat{MBI}=\widehat{MBC}$

$\widehat{MIH}=\widehat{MCI}=\widehat{MCB}$

$\to \widehat{PIQ}=\widehat{KIM}+\widehat{MIH}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}$

$\to \widehat{PIQ}+\widehat{PMQ}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}+\widehat{BMC}=180^o$

$\to IPMQ$ nội tiếp

$\to \widehat{PQM}=\widehat{PIM}=\widehat{KIM}=\widehat{MBK}=\widehat{MCB}$

$\to PQ//BC$

Mà $MI\perp BC$

$\to MI\perp PQ$