Vì $B \in BH$ nên: 

$B=(x_B;\frac{5x_B-5}{2})$

Vì $M \in CM$ nên 

$M=(\frac{20-7y_M}{5};y_M)$

Đồng thời $M$ là trung điểm của $AB$ nên: 

$M=(\frac{x_B-1}{2};\frac{2+y_B}{2}) \Rightarrow M=(\frac{x_B-1}{2}; \frac{5x_B-1}{4})$

Do đó ta có: $\left\{\begin{matrix} \frac{20-7y_M}{5}=\frac{x_B-1}{2} & \\ & \\ y_M=\frac{5x_B-1}{4}& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 40-14y_M=5x_B-5 & \\ 4y_M=5x_B-1& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y_M=\frac{22}{9} & \\ x_B=\frac{97}{45}& \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow B=(\frac{97}{45};\frac{26}{9})$

Đường cao $BH$ có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{u}=(5;-2)$

Do đó giá của $AC$ có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=(5;-2)$

           giá của $AC$ có vectơ pháp tuyến là:  $\overrightarrow{a}=(2;5)$

Vậy phương trình đường thẳng đi qua $AC$ là: $2x+5y-8=0$

Vì $C=AC\cap CM\Rightarrow $ tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} 5x+7y-20=0 & \\ 2x+5y-8=0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4 & \\ y=0 & \end{matrix}\right.$

Vậy $C=(4;0)$

Ta có giá của $BC$ nhận vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{BC}=(\frac{83}{45};\frac{-26}{9})\Leftrightarrow \overrightarrow{BC}=\frac{1}{9}(\frac{83}{5};-26)$

Do đó giá của $BC$ nhận vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{h}=(26;\frac{83}{5})$

Vậy phương trình đường thẳng đi qua $CB$ là: $26x+\frac{83y}{5}-144=0$

Đáp án:  $\begin{cases}AC:2x+5y-8=0\\BC:130x+83y-520=0\end{cases}$

 

Giải thích các bước giải:

Một cách giải

Giả thiết: $\begin{cases}A\left(-1;2\right)\\CM:5x+7y-20=0\\BH:5x-2y-5=0\end{cases}$

 

Vì $BH\bot AC$ và $BH$ có VTPT là $\overrightarrow{{{n}_{BH}}}=\left( 5;-2 \right)$

Nên $\overrightarrow{{{n}_{AC}}}=\left( 2;5 \right)$ là VTPT của $AC$

Và $AC$ đi $A\left( -1;2 \right)$

Nên phương trình $AC$ có dạng:

$AC:2\left( x+1 \right)+5\left( y-2 \right)=0\,\,\Leftrightarrow \,\,AC:2x+5y-8=0$

 

Vì $C=AC\cap CM$

Nên tọa độ $C$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}2x+5y-8=0\\5x+7y-20=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=4\\y=0\end{cases}\Leftrightarrow C\left(4;0\right)$

 

Với $BH:5x-2y-5=0$

$\Leftrightarrow BH:5\left( x-1 \right)=2y$

$\Leftrightarrow BH:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{5}=t$

$\Leftrightarrow BH:\begin{cases}x=2t+1\\y=5t\end{cases}\,\,\,\left(t\in\mathbb{R}\right)$

$\Leftrightarrow B\left( 2t+1;5t \right)$

 

Vì $M$ là trung điểm của $AB$

Nên $M\left( t;\dfrac{5t+2}{2} \right)$

Và $M\in CM:5x+7y-20=0$

$\Leftrightarrow 5t+7\left( \dfrac{5t+2}{2} \right)-20=0$

$\Leftrightarrow t=\dfrac{26}{45}$

$\Leftrightarrow B\left( \dfrac{97}{45};\dfrac{26}{9} \right)$

 

Với $B\left( \dfrac{97}{45};\dfrac{26}{9} \right)$ và $C\left( 4;0 \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left( \dfrac{83}{45};-\dfrac{26}{9} \right)=\dfrac{1}{45}\left( 83;-130 \right)$

$\Rightarrow $Một VTCP của $BC$ là $\overrightarrow{{{u}_{BC}}}=\left( 83;-130 \right)$

$\Rightarrow $Một VTPT của $BC$ là $\overrightarrow{{{n}_{BC}}}=\left( 130;83 \right)$

Và $BC$ đi qua $C\left( 4;0 \right)$

Nên phương trình đường thẳng $BC$ có dạng:

$BC:130\left( x-4 \right)+83\left( y-0 \right)=0\,\,\Leftrightarrow \,\,BC:130x+83y-520=0$

 

Vậy: $\begin{cases}AC:2x+5y-8=0\\BC:130x+83y-520=0\end{cases}$