Ta có góc ACB = 90 độ (nhìn đường kính AB)

Hay AC vuông BC

Ta lại có IK vuông BC (BC là tiếp tuyến của (I))

Nên AC // IK (cùng vuông BC)

Suy ra góc CAK = góc AKI (so le trong)

Mà góc AKI = góc KAI (∆AKI cân tại I)

Nên góc CAK = góc KAI (= góc AKI)

Suy ra AK là đường phân giác của góc CAO

2.

Ta có AB = 2R nên OB = R, OI = R/2, BI = 3R/2

Áp dụng định lý Pytago vào ∆KIB vuông tại K ta được

BI^2 = IK^2 + KB^2

Suy ra KB^2 = BI^2 - IK^2

KB^2 = (3R/2)^2 - (R/2)^2 = 2R^2

Suy ra KB = R√2

Do AC // IK (cmt) nên ta được

∆IKB ~ ∆ACB

Suy ra BK/BC = BI/BA

Suy ra BC = BK.BA/BI

BC = R√2. 2R/(3R/2) = 4R√2 /3

Áp dụng định lý Pytago vào ∆CAB vuông tại C ta được

AB^2 = AC^2 +CB^2

Suy ra AC^2 = AB^2 - CB^2

AC^2 = (2R)^2 - (4R√2 /3)^2 = 4R^2 /9

Suy ra AC = 2R/3

Diện tích ∆CAB vuông tại C = AC.CB/2 = (2R/3).(4R√2 /3)/2 = (4R^2).√2 /9 (₫vdt)