Giải thích các bước giải:

a,

M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình trong tam giác ABC

Suy ra MN//BC

Tam giác ABC cân tại A nên AB=AC hay BM=CN

Tứ giác BCNM có MN//BC và BM=CN nên BCNM là hình thang cân.

b,

D là điểm đối xứng với P qua N nên N là trung điểm của PD

Tứ giác APCD có 2 đường chéo PD và AC cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên APCD là hình bình hành.

Tam giác ABC cân tại A nên AP vừa là trung tuyến, vừa là đường cao

APCD có AP vuông góc với PC nên APCD là hình chữ nhật.

c,

APCD là hình bình hành nên:  \(\left\{ \begin{array}{l}
AD//PC\\
AD = PC
\end{array} \right.\)

P là trung điểm của BC nên   \(\left\{ \begin{array}{l}
AD//PB\\
AD = PB
\end{array} \right.\) 

Do đó, ABPD là hình hình hành

Suy ra O là trung điểm của BD và AP

Tam giác APD có 2 đường trung tuyến AN và DO cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác APD

Do đó, \(DG = \frac{2}{3}DO = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}DB = \frac{1}{3}DB\) 

d,

O là trung điểm AP nên M,O,N thẳng hàng và O là trung điểm MN

MN//BC mà AP ⊥BC nên AP⊥MN

Tứ giác ONEP có 3 góc vuông là O, P, E nên ONPE là hình chữ nhật

Do đó, để ONEP là hình chữ nhật thì ON=OP

Ta có:

\(ON = OP \Leftrightarrow \frac{1}{2}.MN = \frac{1}{2}AP \Leftrightarrow \frac{1}{4}BC = \frac{1}{2}AP \Leftrightarrow AP = \frac{1}{2}BC\)

Tam giác ABC có trung tuyến AP mà AP=1/2 BC nên tam giác ABC vuông tại A.