Đáp án: $\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$

 

Giải thích các bước giải:

 Vì ABCD là hình thoi

=> AB//CD

=> Khoảng cách từ AB đến SC chính bằng khoảng cách từ AB đến mặt phẳng (SCD) (do AB//CD)

Lại có: khoảng cách từ AB đến mp (SCD) lại bằng khoảng cách từ B đến (SCD)

Gọi AC cắt BD tại O

=> O là trung điểm của BD
=> Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng 2 lần khoảng cách từ O đến (SCD)

Kẻ OH vuông góc với CD(H thuộc CD)  (1)

Vì các cạnh bên của hình chóp cùng tạo với đáy 1 góc bằng nhau

=> chân đường cao kẻ từ đỉnh  S xuống (SCD) là tâm O của hình thoi ABCD

=> SO vuông góc với mp (ABCD)

=> SO vuông góc với CD  (2)

Từ (1), (2) => CD vuông góc với mp (SOH)

Kẻ OI vuông góc với SH (I thuộc SH)

=> OI chính là khoảng cách từ O đến mp (SCD) 

=> $\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}}$  (3)

Vì SB tạo với đáy góc 45 độ

=> $\angle SBO = 45^\circ $

=> $\vartriangle SBO$ vuông cân tại O(do SO vuông với (ABCD) nên SO vuông với OB)
=> OB=SO=$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$ (tính được do tam giác ABC đều cạnh a, tính được đường cao bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$)

Tính được OH=1/2 đường cao của tam giác đều cạnh a

=> OH=$\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$

Thay vào (3)

=> OI=$\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}$

=> khoảng cách từ AB đến SC=2.$\frac{{a\sqrt {15} }}{{10}}$=$\frac{{a\sqrt {15} }}{5}$