a) Xét $\Delta ADB$ và $\Delta ADC$ có:

$AB=AC$ (giả thiết)

$AD$ chung

$DB=DC$ (do D là trung điểm của BC)

$\Rightarrow \Delta ADB=\Delta ADC$ (c.c.c) (đpcm)

$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AD$ là tia phân giác $\widehat{BAC}$ (đpcm)

 

b) Xét $\Delta ADM$ và $\Delta ADN$ có:

$AM=AN$ (giả thiết)

$\widehat{MAD}=\widehat{NAD}$ (do AD là phân giác góc A chứng minh ở câu a)

$AD$ chung

$\Rightarrow \Delta ADM=\Delta ADN$ (c.g.c) (đpcm)

$\Rightarrow \widehat{AMD}=\widehat{AND}=90^o$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow AN\bot DN$ (đpcm)

 

c) Xét $\Delta KNE$ và $\Delta KCD$ có:

$KN=KC$ (giải thiết)

$\widehat{NKE}=\widehat{CKD}$ (đối đỉnh)

$KE=KD$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta KNE=\Delta KCD$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{KNE}=\widehat{KCD}$ (hai góc tương ứng)

Mà chúng ở vị trí so le trong nên $NE//DC$

Hay $NE//BC$ (1)

$AM=AN\Rightarrow\Delta AMN$ cân đỉnh A (vì có AM=AN) $\Rightarrow \widehat{AMN}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}$

$AB=AC\Rightarrow\Delta ABC$ cân đỉnh A $\Rightarrow \widehat{ABC}=\dfrac{180^o-\widehat A}{2}=\widehat{AMN}$ mà chúng ở vị trí đồng vị nên $MN//BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $M,N,E$ thẳng hàng (đpcm) (qua một điểm chỉ vẽ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho)