a) Ta có góc BEC = góc BDC = 90° (cùng nhìn đường kính BC)

Suy ra góc AEH = góc ADH = 90° (hai góc kề bù tương ứng)

Suy ra tứ giác AEHD nội tiếp

Gọi M là trung điểm của AH

Xét ∆AEH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AH

Nên MA = ME = MH (1)

Tương tự, DM là trung tuyến ứng với cạnh huyền AH

Nên MA = MH = MD (2)

(1)(2) suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp AEHD

b) Ta có MD = ME (cmt)

OD = OE = R

Nên OM là đường trung trực của ED

Hay OM vuông ED

c) Ta có ∆MDH cân tại M (MD = MH)

Suy ra góc MDH = góc MHD

Mà góc MHD = góc BHI (đối đối đỉnh)

Nên góc MDH = góc BHI

Ta lại có góc BHI + góc HBI = 90° (∆IBH vuông tại I)

Nên góc MDH + góc HBI = 90°

Mà góc HBI = góc HDO (∆OBD cân tại O)

Nên góc MDH + góc HDO = 90°

Hay MD vuông OD

Suy ra MD là tiếp tuyến của (O)

d) Ta có tứ giác DCIH nội tiếp (góc HDC = góc HIC = 90°)

Nên góc HID = góc HCD (cùng nhìn cạnh HD)

Mà góc HCD = góc MDH (cùng chắn cung nhỏ ED)

Nên góc HID = góc MDH

Xét ∆MDI và ∆MKD có

Góc DMI góc chung

Góc MID = góc MDH (cmt)

Do đó ∆MDI ~ ∆MKD (g.g)

Suy ra MD/MK = MI/MD

Hay MD^2 = MI.MK (₫pcm)