Giải thích các bước giải:

a) `ΔABC` vuông tại `A`

`=> BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100 => BC=10`

Xét `ΔABC` có: `BD` là phân giác của `\hat{ABC}`

`=> \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}` (tính chất đường phân giác trong `Δ`)

`=> \frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AB}`

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

`\frac{DC}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{DC+AD}{BC+AB}=\frac{AC}{BC+AB}=\frac{8}{6+10}=1/2`

`=> DC=BC. 1/2=10.1/2=5cm`

      `AD=AB.1/2=6.1/2=3cm`

b) `BD` là phân giác của `\hat{ABC}`

`=> BI` là phân giác của `\hat{ABH}`

Xét `ΔABH` có: `BI` là phân giác của `\hat{ABH}`

`=> \frac{IH}{IA}=\frac{BH}{AB}` (tính chất đường phân giác trong `Δ`)

Xét `ΔABH` và `ΔCBA` có:

`\hat{AHB}=\hat{BAC}=90^0` (`ΔABC` vuông tại `A`; đường cao `AH`)

`\hat{BAC}`: góc chung

`=>` $ΔABH\backsimΔCBA$ (g.g)

`=> \frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}`

Ta có: `\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC};\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{AB};\frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}`

`=> \frac{IH}{IA}=\frac{AD}{DC}`

c) Xét `ΔABD` và `ΔHBI` có:

`\hat{BAD}=\hat{BHI}=90^0` (`ΔABC` vuông tại `A`; đường cao `AH;I∈AH`)

`\hat{ABD}=\hat{HBI}` (`BD` là phân giác của `\hat{BAC};I∈BD;H∈BC`)

`=>` $ΔABD\backsimΔHBI$ (g.g)

`=> \frac{AB}{HB}=\frac{BD}{BI} => AB.BI=BD.HB`

$ΔABD\backsimΔHBI$ (cmt)

`=> \hat{ADB}=\hat{HIB}` (2 góc tương ứng)

mà `\hat{HIB}=\hat{AID}` (đối đỉnh)

`=> \hat{ADB}=\hat{AID}` hay `\hat{ADI}=\hat{AID}`

`=> ΔAID` cân tại `A`