Gọi đường ống nc cắt bồn hoa tại 2 điểm $B$ và $C$. Hạ $IH \perp BC$.

Khi đó, theo đly về hình chiếu và đường xiên ta có

$IH \leq IA$

$<-> IH^2 \leq IA^2$

$<-> IB^2 - IH^2 \geq IB^2 - IA^2$

$<-> IB^2 - IH^2 + IC^2 - IH^2 \geq IB^2 - IA^2 + IC^2 - IA^2$

$<-> HB + HC \geq IB^2 - IA^2 + IC^2 - IA^2$

$<-> BC \geq IB^2 - IA^2 + IC^2 - IA^2$

Vậy $BC$ ngắn nhất khi $IA \perp BC$.

Đặt hệ trục tọa độ vs gốc tại $M(0, 0)$. Khi đó tâm $I(4,6)$ và $A(3, 4)$.

Ta sẽ viết ptrinh đường thẳng đường ống nc $d$.

Do $\vec{AI} = (1, 2) \perp  d$ nên $\vec{n}_d = \vec{AI} = (1, 2)$

Lại có đường ống nc đi qua $A(3, 4) nên ta có

$d: 1(x-3) + 2(y-4) = 0$

$<-> d: x + 2y -11 = 0$

Vậy kcachs là

$d(M, d) = \dfrac{|0 + 2.0 - 11|}{\sqrt{1 + 2^2}} = \dfrac{11\sqrt{5}}{5} \approx 4,92$(m)

Đso là $4,92$(m).