1)

Xét $\Delta AHE$ và $\Delta BHD$, ta có:

+  $\widehat{AHE}=\widehat{BHD}$ (hai góc đối đỉnh)

+  $\widehat{AEH}=\widehat{BDH}=90{}^\circ $

Nên $\Delta AHE\backsim\Delta BHD\left( g.g \right)$

 

2)

Vì $\Delta AHE\backsim\Delta BHD\left( cmt \right)$

Nên $\Rightarrow \dfrac{AH}{BH}=\dfrac{EH}{DH}\Rightarrow \dfrac{AH}{EH}=\dfrac{BH}{DH}$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta EHD$, ta có:

+  $\widehat{AHB}=\widehat{EHD}$ (hai góc đối đỉnh)

+  $\dfrac{AH}{EH}=\dfrac{BH}{DH}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta AHB\backsim\Delta EHD\left( c.g.c \right)$

 

3)

Kéo dài $CH$ cắt $AB$ tại $F$

Ta có $\Delta ABC$ có hai đường cao $AD,BE$ cắt nhau tại $H$

Nên $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$

Do đó $CH\bot AB$ tại giao điểm $F$

 

Xét $\Delta BHF$ và $\Delta BAE$, ta có:

+  $\widehat{ABE}$ là góc chung

+  $\widehat{BFH}=\widehat{BEA}=90{}^\circ $

Nên $\Delta BHF\backsim\Delta BAE\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BF}{BE}\Rightarrow BH.BE=BA.BF\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

 

Xét $\Delta AHF$ và $\Delta ABD$, ta có:

+  $\widehat{BAD}$ là góc chung

+  $\widehat{AFH}=\widehat{ADB}=90{}^\circ $

Nên $\Delta AHF\backsim\Delta ABD\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AF}{AD}\Rightarrow AH.AB=AB.AF\,\,\,\,\left( 2 \right)$

 

Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, cộng vế theo vế, ta được

$BH.BE+AH.AB=AB\left( BF+AF \right)=AB.AB=A{{B}^{2}}$