1. 

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OA}}{{OA'}} = \dfrac{d}{{d'}}\\
\dfrac{{AB}}{{A'B'}} = \dfrac{{OI}}{{A'B'}} = \dfrac{{OF'}}{{OA' - OF'}} = \dfrac{f}{{d' - f}}\\
 \Rightarrow \dfrac{d}{{d'}} = \dfrac{f}{{d' - f}} \Rightarrow \dfrac{{d'}}{d} = \dfrac{{d'}}{f} - 1\\
 \Rightarrow \dfrac{1}{d} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{{d'}} \Rightarrow \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{{d'}}
\end{array}\]

Mà:

\[\begin{array}{l}
d + d' = d + \dfrac{{df}}{{d - f}} = \dfrac{{{d^2}}}{{d - f}}\\
 = \dfrac{{(d - f)(d + f) + {f^2}}}{{d - f}} = d + f + \dfrac{{{f^2}}}{{d - f}}\\
 = d - f + \dfrac{{{f^2}}}{{d - f}} + 2f \ge 2\sqrt {{f^2}}  + 2f = 4f(BDT{\mathop{\rm Cos}\nolimits} i)
\end{array}\]

2.

a) Tại vị trí ban đầu:

\[\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{{d'}} \Rightarrow \dfrac{1}{{20}} = \dfrac{1}{{30}} + \dfrac{1}{{d'}} \Rightarrow d' = 60cm\]

Sau khi di chuyển thấu kính:

\[\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{{d + x}} + \dfrac{1}{{d' - x - \Delta d'}} \Rightarrow \dfrac{1}{{20}} = \dfrac{1}{{30 + x}} + \dfrac{1}{{60 - x - \Delta d'}}\]

b) Khi \(\Delta {d_1}' = 0\) thì:

\[\dfrac{1}{{20}} = \dfrac{1}{{30 + {x_2}}} + \dfrac{1}{{60 - {x_2}}} \Rightarrow {x_2} = 30cm\]

c) Khi xoay thấu kính:

\[d = OS.\cos \alpha  = 40\cos \alpha cm\]

Vì ảnh trùng vị trí ban đầu nên:

\[d' = (60 - 10).\cos \alpha  = 50\cos \alpha cm\]

Ta có:

\[\dfrac{1}{{20}} = \dfrac{1}{{40\cos \alpha }} + \dfrac{1}{{50\cos \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha  = 0,9 \Rightarrow \alpha  = {26^o}\]